temat7, Mechanika i budowa maszyn
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
KINEMATYKA PUNKTU
7. Ruch punktu we współrz
ħ
dnych
kartezja
ı
skich
Zadanie 1/7
Punkt porusza si
ħ
w jednej płaszczy
Ņ
nie.
Znale
Ņę
:
1) równanie toru punktu,
2) poło
Ň
enie punktu w chwili pocz
Ģ
tkowej,
3) pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie punktu w charakterystycznych
punktach toru
je
Ļ
li równania ruchu punktu maj
Ģ
posta
ę
:
a)
x
=
a
sin
kt
d)
x
=
15
t
2
g)
x
=
a
cos
2
kt
y
=
b
cos
2
kt
b
>
0
k
>
0
y
=
4
−
20
t
y
=
b
sin
kt
b)
x
=
b
t
e)
x
=
a
cosh
kt
a
>
0
b
>
0
y
=
at
2
a
>
0
b
>
0
y
=
b
sinh
kt
a
>
0
b
>
0
c)
x
=
a
cos
kt
f)
x
=
2
+
4
cos
2
t
y
=
b
sin
kt
y
=
1
+
5
sin
2
t
1
Zadanie 2/7
Ci
ħŇ
ar
C
przesuwany jest po pionowej prowadnicy za pomoc
Ģ
linki
przerzuconej przez niewielki kr
ĢŇ
ek
A
odległy od prowadnicy o
wielko
Ļę
OA
=
a
.
O
u
A
a
Poda
ę
pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie
ci
ħŇ
aru w zale
Ň
no
Ļ
ci od odległo
Ļ
ci
OC
=
x
, je
Ļ
li swobodny koniec linki
ci
Ģ
gni
ħ
ty jest ze stał
Ģ
pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
u
.
x
C
u
u
2
a
2
Odp.:
x
#
=
−
x
2
+
a
2
x
=
−
C
x
C
x
3
Zadanie 3/7
Pr
ħ
t
OA
obracaj
Ģ
c si
ħ
wokół nieruchomego punktu
O
ze stał
Ģ
pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
k
Ģ
tow
Ģ
w
0
, wprawia w ruch mały pier
Ļ
cie
ı
P
, nasuni
ħ
ty
na poziomo zamocowany drut
d
. Punkt
B
zamocowania drutu
znajduje si
ħ
w odległo
Ļ
ci
b
od nieruchomego punktu
O
.
Znale
Ņę
pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie pier
Ļ
cienia w funkcji odci
ħ
tej
x
.
x
d
B
P
b
O
w
0
Odp.:
x
#
=
w
b
2
+
x
2
)
x
=
2
w
2
0
x
b
2
+
x
2
)
b
b
2
2
#
0
(
#
(
Zadanie 4/7
Suwak
A
zaopatrzony w pionowy pr
ħ
t
AB
porusza si
ħ
ze stał
Ģ
pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
u
po prostej poziomej w ten sposób,
Ň
e pr
ħ
t styka si
ħ
w
punkcie
M
z nieruchomym okr
ħ
giem o promieniu
r
ustawionym w
płaszczy
Ņ
nie pionowej.
Wyznaczy
ę
pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie
punktu
M
w funkcji
k
Ģ
ta j. W chwili
t
=0
pr
ħ
t zajmował
poło
Ň
enie
A
0
B
0
.
B
0
y
M
x
r
j
A
u
A
0
Odp.:
x
#
=
u
x
=
0
M
M
y
#
=
−
utg
j
y
=
−
2
cos
M
M
r
3
j
Zadanie 5/7
Pr
ħ
t
AB
o długo
Ļ
ci
l
porusza si
ħ
w ten sposób,
Ň
e jego ko
ı
ce
Ļ
lizgaj
Ģ
si
ħ
po dwóch wzajemnie prostopadłych prostych.
y
Wyznaczy
ę
pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie
punktu
M
, znajduj
Ģ
cego si
ħ
w odległo
Ļ
ci
a
od ko
ı
ca
A
, w zale
Ň
no
Ļ
ci od poło
Ň
enia
x
A
,
pr
ħ
dko
Ļ
ci
v
A
i przyspieszenia
a
A
ko
ı
ca
A
.
B
l
M
a
A
v
A
a
A
x
x
A
Odp.:
x
#
=
n
l
−
a
x
=
a
l
−
a
M
A
l
M
A
l
(
)
ax
a
l
2
x
a
+
n
2
−
a
x
3
y
=
−
n
A
y
=
−
×
A
A
A
A
A
M
A
M
(
)
2
2
2
l
3
l
l
−
x
2
2
l
−
x
A
A
3
#
u
#
#
#
#
Zadanie 6/7
Krzywka w kształcie półkola o promieniu
r
porusza si
ħ
ruchem
post
ħ
powym ze stał
Ģ
pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
v
0
.
Znale
Ņę
pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie pr
ħ
ta
opieraj
Ģ
cego si
ħ
na krzywce za po
Ļ
rednictwem
rolki o promieniu r i swobodnie poruszaj
Ģ
cego
si
ħ
w pionowej prowadnicy. W chwili
pocz
Ģ
tkowej pr
ħ
t zajmował najwy
Ň
sze poło
Ň
enie.
x
r
v
0
r
n
2
0
t
(
r
+
r
)
Odp.:
x
=
x
=
n
[
]
2
(
) ( )
2
2
r
+
r
−
n
t
(
) ( )
2
r
+
r
−
n
t
0
0
Zadanie 7/7
Kulka mo
Ň
e przesuwa
ę
si
ħ
w kanaliku w kształcie odcinka paraboli
o równaniu
x
=
y
2
/4. Równocze
Ļ
nie przesuwana jest za pomoc
Ģ
prowadnicy poruszaj
Ģ
cej si
ħ
ze stał
Ģ
pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
n
0
.
Znale
Ņę
pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie kulki w chwili, gdy zajmuje ona
poło
Ň
enie okre
Ļ
lone przez współrz
ħ
dn
Ģ
x
k
=4. W chwili pocz
Ģ
tkowej
kulka zajmowała poło
Ň
enie okre
Ļ
lone współrz
ħ
dn
Ģ
x
0
.
n
0
y
x
0
x
Odp.:
x
=
n
0
x
=
0
y
#
=
n
0
y
=
−
n
2
0
x
2
x
3
4
2
#
#
2
0
3
2
#
#
#
Zadanie 8/7
Ko
ı
ce linijki AB poruszaj
Ģ
si
ħ
po dwóch wzajemnie prostopadłych
prostych
0x
i
0y
, przy czym k
Ģ
t j=w
t
(w
=const).
y
Poda
ę
równanie toru ruchu
punktu
M
znajduj
Ģ
cego si
ħ
w
odległo
Ļ
ciach
a
i
b
od ko
ı
ców
linijki oraz obliczy
ę
jego
pr
ħ
dko
Ļę
i przyspieszenie w
chwilach, gdy znajdzie si
ħ
on na
prostych
0x
oraz
0y
.
x
A
a
M
b
j
B
0
x
M
=
a
#
M
=
0
#
M
=
−
a
w
2
x
M
=
−
a
x
#
M
=
0
x
M
=
a
w
2
y
M
=
0
y
#
M
=
b
w
#
M
=
0
y
M
=
0
y
#
M
=
−
b
w
y
M
=
0
2
2
x
y
Odp.:
+
b
=
1
a
2
2
x
=
0
x
#
=
−
a
w
x
=
0
#
#
x
=
0
x
=
a
w
x
=
0
M
M
M
M
M
M
y
=
b
y
=
0
y
=
−
b
w
y
=
−
b
y
#
=
0
#
y
=
b
w
2
M
M
M
M
M
M
Zadanie 9/7
Pocisk wystrzelono z pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
pocz
Ģ
tkow
Ģ
n
0
=700m/s pod k
Ģ
tem
a
1
=60
o
do poziomu. Po jakim czasie D
t
nale
Ň
y wystrzeli
ę
drugi
pocisk pod k
Ģ
tem a
2
=45
o
i z tak
Ģ
sam
Ģ
pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
pocz
Ģ
tkow
Ģ
, aby
pociski zderzyły si
ħ
w locie? Na jakiej wysoko
Ļ
ci
h
i w jakiej
odległo
Ļ
ci
l
od miejsca wystrzału nast
Ģ
pi zderzenie? Opór powietrza
pomin
Ģę
, przyj
Ģę
przyspieszenie ziemskie
g
=9.81m/s
2
.
Odp.: D
t
=104.5sek,
h
=9786m,
l
=36575m
Zadanie 10/7
Punkt zakre
Ļ
la figur
ħ
Lissajous zgodnie z równaniami
x
=
−
a
sin
2
w
t
y
=
−
a
sin
w
Znale
Ņę
promie
ı
r krzywizny toru w punkcie o współrz
ħ
dnych
x
=0,
y
=0.
Odp.: r=¥
5
x
x
#
y
#
#
#
#
2
t
[ Pobierz całość w formacie PDF ]