teoria20stata, WI ZUT studia, Metody probabilistyczne i statystyka, Egzaminy i kolokwia
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Egzamin - Teoria - Wykład 01-(10)-14-(15) v.0.12.63 BETA
===============================================================================
I.
Rachunek prawdopodobieństwa
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1)
Zdarzenia losowe
Pojęcia pierwotne:
Zdarzenie elementarne ω
– każdy możliwy wynik danego doświadczenia.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω
– zbiór wszystkich ω.
Def.
Niech 2
Ω
oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru Ω. Niepustą klasę
W
F
2
nazywamy
sigma
ciałem
(σ-ciałem lub σ-algebrą) jeżeli:
¢
(1.1)
A
˛
F
A
=
W
\
A
˛
F
¥
U
(1.2)
A
,
A
,...,
˛
F
A
˛
F
1
2
i
i
=
1
Parę (Ω, F) nawykamy
przestrzenią mierzalną
zaś dowolny element
A
˛
F
zdarzeniem losowym.
Własności:
Oznaczenia:
f
– zdarzenie
niemożliwe
Ω – zdarzenie
pewne
F
(1.3)
f
˛
F
,
W
˛
F
A
,
B
˛
i
A
˙
B
=
f
to A i B zdarzenia rozłączne
(1.4)
A
,
B
˛
F
A
\
B
˛
F
A
,
A
,...,
A
n
˛
F
i
i
„
j
A
˙
A
=
f
to zdarzenia A
1
,…,A
n
parami
1
2
i
j
¥
I
(1.5)
A
,
A
,...,
˛
F
A
˛
F
wykluczają się
B
1
2
i
A
zdarzenie A
pociąga
zdarzenie B
i
=
1
w
˛
A
zdarzenie ω
sprzyja
zdarzeniu A
Zbiór przeliczalny
to zbiór skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Uwaga:
(1.6) Jeżeli Ω jest zbiorem
przeliczalnym
to F=2
Ω
, czyli dowolny podzbiór zbioru Ω jest
zdarzeniem
losowym
.
(1.7) Jeżeli Ω jest zbiorem
nieprzeliczalnym
, to
nie
każdy jego podzbiór jest zdarzeniem losowym.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2)
Definicja prawdopodobieństwa (aksjomatyczna, zaproponowana przez Kołmogorowa w 1931 roku)
Niech (Ω, F) będzie przestrzenią mierzalną.
Prawdopodobieństwem
nazywamy dowolną funkcję
R
P
:
F
taką, że:
(2.1)
P
(
A
)
‡
0
(2.2)
P
(
W
)
=
1
¥
¥
=
P
U
(2.3)
dla dowolnego ciągu zdarzeń
A
,
A
,...,
parami wykluczających się
A
=
P
(
A
)
i
i
1
2
Ł
ł
i
=
1
i
1
Własności:
(2.4)
P
(
A
¢
)
=
1
-
P
(
A
)
(2.5)
P
(
A
¨
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
-
P
(
A
˙
B
)
Przygotował: Tomasz „
Hatake_KAKASHI
” Kotwis
1
Egzamin - Teoria - Wykład 01-(10)-14-(15) v.0.12.63 BETA
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(2.6)
n
+
1
P
A
¨
A
¨
...
¨
A
=
P
(
A
)
-
P
A
˙
A
+
P
A
˙
A
˙
A
+
...
+
(
-
1
P
A
˙
A
˙
...
˙
A
1
2
n
i
i
i
i
i
i
1
2
n
1
2
1
2
3
i
=
1
1
£
i
<
i
£
n
1
£
i
<
i
<
i
£
n
1
2
1
2
3
(2.7)
P
(
A
)
£
1
(2.8)
A
B
P
(
A
)
£
P
(
B
)
(2.9)
A
B
P
(
B
\
A
)
=
P
(
B
)
-
P
(
A
)
(A) Ω={ω
1
, ω
2
, …, ω
n
} F=2
Ω
Twierdzenie
Jeżeli w przestrzeni Ω={ω
1
, ω
2
, …, ω
n
} zostały określone prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych
P({ω
1
})=P
1
, …, P({ω
n
})=P
n
tak, że:
{
n
p
‡
0
,
i
˛
1
2
,...,
oraz p
1
+p
2
+…+p
n
=1 to prawdopodobieństwo
i
{
}
dowolnego zdarzenia
A
=
w
,
w
,...,
w
jest równe
P
(
A
)
=
p
+
p
+
...
+
p
.
i
i
i
i
i
i
1
2
k
1
2
k
Wniosek (klasyczna definicja La Place`a z 1812 roku):
Jeżeli
Ω={ω
1
,
ω
2
, …,
ω
n
} i prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych są
jednakowe
1
(
{
}
)
(
{
}
)
P
w
=
P
w
=
to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A składające się z k zdarzeń
1
n
n
k
A
elementarnych i wynosi:
P
(
A
)
=
=
n
W
F=2
Ω
(B)
Ω={ω
1
, ω
2
, …}
Twierdzenie
Jeżeli w Ω określono prawdopodobieństwo zdarzeń elementarnych P({ω
1
})=P
1
, P({ω
2
})=P
2
tak, że
¥
=
{
}
{
}
p
‡
0
,
i
˛
1
,...
oraz
p
=
1
to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia
A
=
w
,
w
,...
wynosi
i
i
i
i
1
2
i
1
P
(
A
)
=
p
+
p
+
...
i
i
1
2
(C) Ω nieprzeliczalny (prawdopodobieństwo geometryczne)
{
(
)
W
n
W
R
F
=
B
(
R
)
=
A
˛
B
R
n
:
A
˛
Def.
m
(
A
)
Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia
A
˛
F
wyznaczamy następująco:
P
(
A
)
=
gdzie m
m
(
W
)
jest miarą Lebesque`a w:
R – długość
2
– pole
R
3
– objętość
R
Uwaga
(
{ }
)
Prawdopodobieństwo geometryczne jest miarą bezatomową, tzn.
w
˛
R
P
w
=
0
Koniec wykładu 01
Przygotował: Tomasz „
Hatake_KAKASHI
” Kotwis
2
Egzamin - Teoria - Wykład 01-(10)-14-(15) v.0.12.63 BETA
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3)
Zmienne losowe
Def.
Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P).
Zmienną losową
nazywamy dowolną funkcję
R
X
:
W
taką, że:
{
}
(3.1)
w
˛
W
:
X
(
w
)
˛
B
˛
F
B
˛
B
(
R
)
Uwaga:
(a)
warunek (3.1) jest r
ów
noważny warunkowi:
{
}
F
(3.2)
w
˛
W
:
X
(
w
)
<
x
˛
x
˛
r
(b)
Jeżeli Ω jest przeliczalny to zdarzeniem jest każdy podzbiór Ω czyli dowolna funkcja
X
:
W
R
będzie zmienną losową.
Zmienne losowe oznaczamy
X
,
Y
,
Z
, ich wartości (realizację) x, y, z.
Oznaczenia:
(
{
}
)
(
)
P
w
˛
W
:
X
(
w
)
˛
B
=
P
X
˛
B
B
˛
B
(
R
)
(
{
}
)
(
)
P
w
˛
W
:
X
(
w
)
<
x
=
P
X
<
x
x
˛
R
(
{
}
)
(
)
P
w
˛
W
:
X
(
w
)
=
x
=
P
X
=
x
x
˛
R
0
0
0
(
{
}
)
(
)
P
w
˛
W
:
a
£
X
(
w
)
<
b
=
P
a
£
X
<
b
a
,
b
˛
R
,
a
<
b
Def.
Dystrybuantą
zmiennej losowej
X
określonej na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy funkcję
R
F
X
:
R
określoną wzorem:
(3.3)
F
X
(
x
)
=
P
(
X
<
x
)
dla dowolnego
x
˛
R
Własności:
(3.4)
0
£
F
(
x
)
£
1
(3.5)
lim
F
(
x
)
=
0
lim
F
(
x
)
=
1
x
-¥
x
+¥
(3.6) F jest niemalejąca tzn. dla
x
<
y
F
(
x
)
£
F
(
y
)
(3.7) F jest (co najmniej) lewostronnie ciągła tzn.
lim
F
(
x
)
=
F
(
x
)
0
-
x
x
x
˛
R
0
0
(3.8)
P
(
a
£
X
<
b
)
=
F
(
b
)
-
F
(
a
)
(
)
(
)
(
)
P
a
£
X
<
b
=
P
X
<
b
-
P
X
<
a
(
) (
)
-
¥
,
b
\
-
¥
,
a
”<
a
,
b
)
(3.9)
P
(
X
=
x
)
=
lim
F
(
x
)
-
F
(
x
)
0
0
+
x
x
0
Wnioski:
•
z własności (3.9) wynika że funkcja F jest ciągła w x
0
gdy
P
(
X
=
x
)
=
0
;
0
•
funkcja F ma skok (nie jest ciągła) w punkcie x
0
gdy
P
(
X
=
x
)
>
0
.
0
Przygotował: Tomasz „
Hatake_KAKASHI
” Kotwis
3
Egzamin - Teoria - Wykład 01-(10)-14-(15) v.0.12.63 BETA
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4)
Typy zmiennych
Def.
Zmienna losowa
X
, określona na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P)
jest typu skokowego
jeżeli istnieje
przeliczalny zbiór jej wartości
{
}
s
=
x
,
x
,
x
,...
.
1
2
3
i
{
}
(4.1)
P
(
X
=
x
)
=
p
>
0
i
˛
1
2
...
oraz
p
=
1
i
i
i
Liczby x
1
,x
2
,x
3
… nazywamy
punktami skokowymi
, zaś p
1
,p
2
,p
3
…
skokami
.
Własności:
(
)
˛
(4.2)
P
X
˛
B
=
p
B
˛
B
(
R
)
i
{
}
i
:
x
B
i
( )
<
(4.3)
F
x
=
p
x
˛
R
i
{
}
i
:
x
x
i
(
)
0
(4.4) Ponieważ
p
=
P
X
=
x
>
to F ma skok w punkcie x
i
o wartości p
i
.
i
i
Def.
Zmienna losowa
X
, określona na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P)
jest typu ciągłego
jeżeli
dystrybuanta tej zmiennej ma postać:
x
¥
(4.5)
F
(
x
)
=
f
(
t
)
dt
dla dowolnego
x
˛
R
, gdzie f jest nieujemną funkcją całkowitą taką, że:
-
+¥
(4.6)
f
(
t
)
dt
=
1
funkcję f nazywamy
gęstością prawdopodobieństwa
zmiennej losowej
X
-
¥
Własności:
Dla zmiennej losowej
X
typu ciągłego
zachodzą:
(4.7)
F jest ciągła w R. Nie każda funkcja ciągła da się przedstawić w postaci (4.5).
(4.8)
Jeśli f jest ciągła w punkcie x, to F jest różniczkowalna i
F
¢
(
x
)
=
f
(
x
)
.
(4.9)
P
(
X
=
x
)
=
0
0
b
(4.10)
ogólnie:
P
(
X
˛
B
)
=
f
(
t
)
dt
P
(
a
£
X
<
b
)
=
P
(
a
<
X
£
b
)
=
P
(
a
£
X
£
b
)
=
P
(
a
<
X
<
b
)
=
f
(
t
)
dt
a
B
x
F
(
x
)
=
P
(
X
<
x
)
=
¥
f
(
t
)
dt
-
b
P
(
a
<
X
<
b
)
=
f
(
t
)
dt
a
Koniec wykładu 02
Przygotował: Tomasz „
Hatake_KAKASHI
” Kotwis
4
Egzamin - Teoria - Wykład 01-(10)-14-(15) v.0.12.63 BETA
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5)
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Def.
Wartością oczekiwaną
(przeciętną/średnią) zmiennej losowej
X
określonej na przestrzeni
probabilistycznej (Ω, F, P) nazywamy liczbę zdefiniowaną wzorem:
x
p
gdy
X
jest
typu
skokowego
i
i
x
˛
S
X
i
(5.1)
E
X
=
¥
xf
(
x
)
dx
gdy
X
jest
typu
ciaglego
-
¥
˛
pod warunkiem, że szereg i całka po prawej stronie są bezwzględnie zbieżne, czyli
x
p
<
¥
i
i
i
x
S
X
i
¥
x
f
(
x
)
dx
<
¥
.
-
¥
Własności:
(5.2)
Ec
=
c
c
˛
R
(5.3)
E
(
a
X
)
=
aE
X
a
˛
R
(5.4)
E
(
b
+
X
)
=
b
+
E
X
b
˛
R
(5.5)
E
(
X
-
E
X
)
=
0
(5.6)
E
(
X
+
Y
)
=
E
X
+
EY
(5.7)
E
(
X
Y
)
=
E
X
EY
wtedy gdy
X
,
Y
są niezależne, czyli dla dowolnych
x
,
y
˛
R
niezależne są
zdarzenia
{
}
i
{
}
X
<
x
Y
<
y
.
Uwaga:
k
i
x
p
gdy
X
jest
typu
skokowego
i
x
˛
S
X
k
i
E
X
=
¥
k
x
f
(
x
)
dx
gdy
X
jest
typu
ciaglego
-
¥
Def.
Wa
ri
ancj
ą
z
mie
nn
ej losowej
X
nazywamy liczbę:
2
2
(5.8)
D
X
=
E
(
X
-
E
X
)
Własności
:
(5.9)
2
2
2
D
X
=
E
X
-
(
E
X
)
2
(5.10)
D
X
‡
0
2
(5.11)
D
c
=
0
2
2
2
(5.12)
D
(
a
X
)
=
a
D
X
2
2
(5.13)
D
(
X
+
b
)
=
D
X
(5.14)
D
2
(
X
+
Y
)
=
D
2
X
+
D
2
Y
wtedy gdy
X
,
Y
są niezależne, czyli dla dowolnych
x
,
y
˛
R
niezależne
są zdarzenia
{
}
i
{
}
X
<
x
Y
<
y
.
Przygotował: Tomasz „
Hatake_KAKASHI
” Kotwis
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]