teoria, Budownictwo, Semestr 3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Definicja.
Dystrybuant¡
zmiennejlosowej
X
nazywamy
funkcj¦
F
:
R
!
R
okre±lon¡wzorem:
F
(
x
)=
P
(
X<x
)
.
Twierdzenie.
Dystrybuantaspełnianast¦puj¡cewłasno±ci:
•
lim
Definicja.
Mówimy,»ezmiennalosowajest
typuci¡głego
,
je»eliistniejenieujemnafunkcja
f
:
R
!
R
taka,»e
Z
x
x
!1
F
(
x
)=1,
•
jestfunkcj¡niemalej¡c¡,
•
jestfunkcj¡lewostronnieci¡gł¡.
Twierdzenie.
Je»eli
F
jestdystrybuant¡zmiennejlosowej
X
,tozachodz¡własno±ci:
x
!−1
F
(
x
)=0,lim
F
(
x
)=
f
(
t
)
dt.
−1
Funkcj¦
f
nazywamy
g¦sto±ci¡
zmiennejlosowej
X
.
Wka»dympunkcie
x
ci¡gło±cig¦sto±ci
f
zachodzirówno±¢:
F
0
(
x
)=
f
(
x
)
.
1.
P
(
X<b
)=
F
(
b
)
Funkcjag¦sto±ci
f
spełniadwawarunki:
1.
f
(
x
)
0dla
x
2
R
,
2.
2.
P
(
X
¬
b
)=
F
(
b
+
)
Z
1
3.
P
(
a
¬
X<b
)=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
f
(
x
)
dx
=1.
−1
4.
P
(
a<X<b
)=
F
(
b
)
−
F
(
a
+
)
Dlarozkładówtypuci¡głego,dladowolnychliczb
a,b
2
R
mamy:
5.
P
(
a<X
¬
b
)=
F
(
b
+
)
−
F
(
a
+
)
Z
b
6.
P
(
a
¬
X
¬
b
)=
F
(
b
+
)
−
F
(
a
)
P
(
a
¬
X<b
)=
F
(
b
)
−
F
(
a
)=
f
(
x
)
dx.
a
7.
P
(
X
=
a
)=
F
(
a
+
)
−
F
(
a
)
Je»eli
X
jestzmienn¡typuci¡głegotodystrybuanta
F
jest
funkcj¡ci¡gł¡.St¡ddladowolnychliczbrzeczywistych
a
i
b
mamy:
1.
P
(
X<a
)=
P
(
X
¬
a
)=
F
(
a
)
2.
P
(
a
¬
X<b
)=
P
(
a<X
¬
b
)=
P
(
a
¬
X
¬
b
)=
P
(
a<
Definicja.
Zmienn¡losow¡,któraprzyjmujeprzeliczaln¡licz-
b¦warto±cinazywamy
dyskretn¡
.Zbiórpar(
x
i
,p
i
),gdzie
p
i
0jestprawdopodobie«stwem,zjakimzmiennaloso-
wadyskretna
X
przyjmujewarto±¢
x
i
,nazywamy
rozkła-
demprawdopodobie«stwazmiennejlosowej
X
.Pisze-
my
P
(
X
=
x
i
)=
p
i
.Oczywi±cie
p
1
+
p
2
+
...p
n
+
···
=1.
Z
b
X<b
)=
F
(
b
)
−
F
(
a
)=
f
(
x
)
dx.
Definicja.
Warto±ci¡oczekiwan¡
zmiennejlosowej
X
ty-
puci¡głegonazywamyliczb¦:
a
Definicja.
Je»eli
X
jestzmienn¡losow¡dyskretn¡(skokow¡),
toliczb¦:
Z
1
E
(
X
)=
xf
(
x
)
dx.
E
(
X
)=
x
1
p
1
+
x
2
p
2
+
···
+
x
n
p
n
+
...
−1
Przyjmujemy, »ewarto±¢oczekiwana istnieje, je»eli
E
|
X
|
<
1
.
nazywamy
warto±ci¡±redni¡
lub
warto±ci¡oczekiwan¡
zmiennejlosowej
X
.
Własno±ciwarto±cioczekiwanej:
•
E
(
a
)=
a
•
E
(
aX
)=
aE
(
X
)
•
E
(
X
+
Y
)=
E
(
X
)+
E
(
Y
)
Własno±ciwarto±cioczekiwanej:
•
E
(
a
)=
a
•
E
(
aX
)=
aE
(
X
)
•
E
(
X
+
Y
)=
E
(
X
)+
E
(
Y
)
Je»eli
X
jestzmienn¡losow¡typuci¡głegoog¦sto±ci
f
oraz
g
:
R
!
R
jestpewn¡funkcj¡tak¡,»e
Y
=
g
(
X
)
jestzmienn¡losow¡,towarto±¢oczekiwan¡zmiennej
Y
obliczamynast¦puj¡co:
Je»eliponadto
f
:
R
!
R
jestdowoln¡funkcj¡oraz
Y
=
f
(
X
),towarto±¢oczekiwan¡zmiennej
Y
obliczamy
nast¦puj¡co:
Z
1
E
(
Y
)=
f
(
x
1
)
p
1
+
f
(
x
2
)
p
2
+
···
+
f
(
x
n
)
p
n
+
...
E
(
Y
)=
g
(
x
)
f
(
x
)
dx.
np.
−1
E
(
X
2
)=
x
2
1
p
1
+
x
2
2
p
2
+
···
+
x
2
n
p
n
+
...
Definicja.
Wariancj¡
zmiennejlosowej
X
nazywamyliczb¦:
D
2
X
=
E
(
X
−
E
(
X
))
2
=(
x
1
−
E
(
X
))
2
p
1
+(
x
2
−
E
(
X
))
2
p
2
+
···
+(
x
n
−
E
(
X
))
2
p
n
+
...
Własno±ciwariancji:
•
D
2
X
=
E
(
X
2
)
−
(
EX
)
2
•
D
2
(
a
)=0
•
D
2
(
aX
)=
a
2
D
2
X
•
D
2
(
X
+
b
)=
D
2
X
Definicja.
Odchyleniemstandardowym
zmiennejlosowej
X
nazywamyliczb¦:
Definicja.
Wariancj¡
zmiennejlosowej
X
nazywamy
liczb¦
D
2
X
=
E
(
X
−
EX
)
2
=
R
1
−1
(
x
−
E
(
X
))
2
f
(
x
)
dx
.
Własno±ciwariancji:
•
D
2
X
=
E
(
X
2
)
−
(
EX
)
2
•
D
2
(
a
)=0
•
D
2
(
aX
)=
a
2
D
2
X
•
D
2
(
X
+
b
)=
D
2
X
Definicja.
Odchyleniemstandardowym
zmiennejloso-
wej
X
nazy
wamyliczb¦:
=
p
D
2
X.
p
=
D
2
X.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]