temat11, Mechanika i budowa maszyn
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
11. DYNAMIKA RUCHU
SWOBODNEGO PUNKTU MATERIALNEGO
Zadanie 1/11
W polu przyci
Ģ
ganie ziemskiego z punktu o współrz
ħ
dnych
x
0
,
y
0
wyrzucono punkt materialny o masie
m
z pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
pocz
Ģ
tkow
Ģ
u
0
pod k
Ģ
tem a do poziomu.
Znale
Ņę
równania ruchu punktu. Przeprowadzi
ę
dyskusj
ħ
.
y
u
0
y
0
a
x
=
u
t
+
x
Odp.:
0
x
0
gt
2
y
=
−
+
u
t
+
y
x
2
0
y
0
x
0
u
0
x
=
u
0
cos
a
u
=
u
sin
a
0
y
0
Zadanie 2/11
Punkt materialny o masie
m
znajduje si
ħ
w jednorodnym zmiennym polu
magnetycznym. Znale
Ņę
równanie ruchu punktu
x
(
t
), je
Ň
eli pole magne-
tyczne działa na punkt sił
Ģ
F
=
F
0
sinw
t
(
F
0
, w − stałe). Poło
Ň
enie oraz
pr
ħ
dko
Ļę
pocz
Ģ
tkowa punktu równe s
Ģ
0.
0
m F
(
t
)
x
Odp.:
x
=
F
0
Ä
−
t
sin
w
t
Ö
w
m
w
x
(
t
)
Zadanie 3/11
Ciało o masie
m
spada pionowo bez pr
ħ
dko
Ļ
ci pocz
Ģ
tkowej w o
Ļ
rodku,
który stawia opór
R
=
km
uproporcjonalny do pr
ħ
dko
Ļ
ci u(
k
− stała).
Obliczy
ę
do jakiej maksymalnej pr
ħ
dko
Ļ
ci u
max
rozp
ħ
dzi si
ħ
ciało oraz
poda
ę
równanie ruchu
x
(
t
).
g
g
(
)
g
Odp.:
u
=
x
=
e
−
kt
−
1
+
t
max
k
2
k
k
1
Æ
Ô
Zadanie 4/11
Ciało o masie
m
porusza si
ħ
po prostej poziomej pod wpływem siły
F
=
k
t
(
k
− stała)
u
Znale
Ņę
pr
ħ
dko
Ļę
uciała jako funkcj
ħ
czasu, je
Ļ
li w chwili pocz
Ģ
tkowej
jego pr
ħ
dko
Ļę
równa była u
0
.
3
k
Odp.:
u
=
3
t
2
+
u
3
0
2
m
Zadanie 5/11
Z jak
Ģ
pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
u
0
nale
Ň
y wystrzeli
ę
pocisk z powierzchni Ziemi w
kierunku Ksi
ħŇ
yca, aby doleciał on do punktu, w którym siły przyci
Ģ
ga-
nia Ziemi i Ksi
ħŇ
yca równowa
ŇĢ
si
ħ
i aby zatrzymał si
ħ
w tym punkcie?
Ruch Ziemi i Ksi
ħŇ
yca oraz opór atmosfery pomin
Ģę
.
Przyj
Ģę
:
R
=6370km
g
=9.81m/s
2
Z
=
a
=
80
d
=
b
=
60
M
R
K
gdzie:
M
Z
- masa Ziemi,
M
K
– masa Ksi
ħŇ
yca,
d
– odległo
Ļę
mi
ħ
dzy
Ļ
rodkami Ziemi i Ksi
ħŇ
yca,
R
– promie
ı
Ziemi.
Odp.: u
0
»11.065km/s
Zadanie 6/11
Na punkt materialny o masie
m
działa siła proporcjonalna do czasu
F
1
=
kt
oraz siła oporu proporcjonalna do pr
ħ
dko
Ļ
ci
F
2
=au. Znale
Ņę
pr
ħ
dko
Ļę
punktu u(
t
) oraz poło
Ň
enie
x
(
t
) w zale
Ň
no
Ļ
ci od czasu. Warunki
pocz
Ģ
tkowe: dla
t
=0
x
=0, u=0.
m
2
k
Ä
−
a
t
Ô
k
mk
mk
Ä
−
a
t
Ô
k
Å
Æ
Õ
Ö
Å
Æ
Õ
Ö
( )
2
( )
Odp.:
x
t
=
1
−
e
m
+
t
−
t
u
t
=
e
m
−
1
+
t
3
Å
Õ
2
a
2
2
Å
Õ
a
a
a
a
2
M
Zadanie 7/11
y
y
(
x
)
Kul
ħ
o masie
m
wyrzucono pod k
Ģ
tem a
0
do poziomu z pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
pocz
Ģ
tkow
Ģ
u
0
.
Opór powietrza
R
=
k
u jest proporcjonalny
do pr
ħ
dko
Ļ
ci. Znale
Ņę
równanie
y
(
x
) toru
ruchu kuli.
u
0
m
a
0
x
Ä
mg
Ô
m
2
kx
Odp.:
y
=
x
Å
Æ
tg
a
+
Õ
Ö
+
g
ln
1
−
0
k
u
cos
a
2
m
u
cos
a
k
0
0
0
0
Zadanie 8/11
Punkt o masie m porusza si
ħ
w płaszczy
Ņ
nie
Oxy
, pod działaniem siły centralnej skiero-
wanej do pocz
Ģ
tku układu współrz
ħ
dnych.
Siła ta jest wprost proporcjonalna do odle-
gło
Ļ
ci punktu od pocz
Ģ
tku układu. W chwili
pocz
Ģ
tkowej punkt zajmował poło
Ň
enie
x
=b,
y
=0 i posiadał pr
ħ
dko
Ļę
u
x
=0, u
y
= u
0
.
Znale
Ņę
równanie toru ruchu punktu.
y
m
l
P
=
kl
u
0
x
O
b
x
2
y
2
Odp.:
+
=
1
elipsa
2
m
b
u
2
0
k
Zadanie 9/11
Ci
ħŇ
ar o masie
m
mo
Ň
e
Ļ
lizga
ę
si
ħ
po pionowym
pr
ħ
cie
AB
, którego sztywno
Ļę
na rozci
Ģ
ganie równa
jest
k
1
.Koniec
B
pr
ħ
ta opiera si
ħ
o
Ļ
rubow
Ģ
spr
ħŇ
yn
ħ
o sztywno
Ļ
ci
k
2
. Obliczy
ę
najwi
ħ
ksze wydłu
Ň
enie
pr
ħ
ta
h
przy spadku ci
ħŇ
aru z wysoko
Ļ
ci
H
bez
pr
ħ
dko
Ļ
ci pocz
Ģ
tkowej. Mas
ħ
pr
ħ
ta i spr
ħŇ
yny
pomin
Ģę
.
A
m
k
1
H
B
k
2
Odp.:
h
=
mg
Å
Æ
1
+
1
+
2
H
(
k
1
+
k
2
)
Ö
Ô
k
+
k
mg
1
2
Zadanie 10/11
Na ko
ı
cu nie odkształconej nici o sztywno
Ļ
ci
c
, która mo
Ň
e przenie
Ļę
maksymaln
Ģ
sił
ħ
Q
, zaczepiono ci
ħŇ
ar o masie
m
i puszczono bez
pr
ħ
dko
Ļ
ci pocz
Ģ
tkowej. Jaka jest minimalna warto
Ļę
m
, przy której ni
ę
zerwie si
ħ
i jaka b
ħ
dzie pr
ħ
dko
Ļę
ci
ħŇ
aru w chwili zerwania nici?
Odp.:
m
=
Q
u
=
0
2
g
3
Ä
[ Pobierz całość w formacie PDF ]