temat15, Mechanika i budowa maszyn
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
15. Energia, p
ħ
d, kr
ħ
t w ruchu ciała sztywnego.
Równowa
Ň
no
Ļę
energii i pracy.
Twierdzenie Koeniga
Energia kinetyczna
ciała sztywnego
równa jest sumie
energii kinetycznej ruchu post
ħ
powego z pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ģ
Ļ
rodka masy
i
energii ruchu obrotowego wokół osi przechodz
Ģ
cej przez
Ļ
rodek
masy.
l
E
=
1
m
u
2
+
1
J
w
2
m
– masa ciała
J
l
– moment bezwładno
Ļ
ci
wzgl
ħ
dem osi obrotu
w
m
k
l
2
2
u
Energia kinetyczna
układu ciał sztywnych
równa jest
sumie energii kinetycznych
poszczególnych ciał.
c
Przyrost energii mechanicznej
układu ciał sztywnych w sko
ı
czonym przedziale czasu
równy jest
sumie prac sił zewn
ħ
trznych niepotencjalnych
działaj
Ģ
cych układ.
E
( )
2
+
E
( )
2
)
−
(
E
( )
1
+
E
( )
)
=
W
k
p
k
p
1
2
E
( )
2
E
(
1
Energia potencjalna układu znajduj
Ģ
cego si
ħ
w polu grawitacyjnym
równa jest
sumie iloczynów ci
ħŇ
arów poszczególnych ciał
i wzniesienia ich
Ļ
rodków masy ponad dowolnie obrany poziom.
m
1
m
i
E
p
=0
h
1
h
i
Ã
n
Ã
n
E
=
Q
h
=
m
gh
h
n
p
i
i
i
i
i
=
1
i
=
1
m
n
1
1
(
m
m
Momenty bezwładno
Ļ
ci
z
wzgl
ħ
dem
płaszczyzn
wzgl
ħ
dem
osi
m
p
2
p
3
J
=
Ð
z
2
dm
J
=
Ð
(
y
2
+
z
2
dm
dm
x
p
1
m
m
(
)
r
J
=
Ð
y
2
dm
J
=
Ð
x
2
+
z
2
dm
y
p
2
m
m
(
)
dm
O
z
2
J
=
Ð
x
2
+
y
2
J
=
Ð
x
dm
z
p
x
y
3
y
x
m
m
p
1
biegunowy
J
=
Ð
r
2
dm
=
Ð
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
dm
O
dewiacji
m
m
J
xy
=
J
yx
=
Ð
xydm
Ç
×
J
−
J
−
J
macierz
momentów
bezwładno
Ļ
ci
m
x
xy
xz
È
Ø
J
=
J
=
Ð
yzdm
[ ]
=
−
J
J
−
J
yz
zy
È
yx
y
yz
Ø
m
È
−
J
−
J
J
Ø
zx
zy
z
Ð
J
=
J
=
zxdm
zx
xz
m
J
O
=
J
p
3
+
J
p
2
+
J
p
1
moment bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem
osi równy jest sumie momentów
bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem
wzajemnie prostopadłych
płaszczyzn przecinaj
Ģ
cych si
ħ
wzdłu
Ň
tej osi
J
=
J
+
J
biegunowy moment bezwładno
Ļ
ci
równy jest sumie momentów
bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem trzech
wzajemnie prostopadłych płaszczyzn
przecinaj
Ģ
cych si
ħ
w biegunie
x
p
1
p
2
J
y
=
J
p
1
+
J
p
3
J
z
=
J
p
2
+
J
p
3
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładno
Ļ
ci ciała materialnego wzgl
ħ
dem
dowolnej osi równy jest
sumie momentu bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem osi
równoległej przechodz
Ģ
cej przez
Ļ
rodek masy
oraz
iloczynu masy ciała i kwadratu odległo
Ļ
ci mi
ħ
dzy
tymi dwiema osiami.
J
l
=
J
lc
+
mh
2
m
lc
h
l
c
2
)
J
É
Ù
Momenty bezwładno
Ļ
ci wybranych brył jednorodnych
wzgl
ħ
dem osi centralnych
cienki pr
ħ
t
cylinder
z
kula dr
ĢŇ
ona
l
z
z
m
l
m
R
r
c
y
r
c
c
x
m
y
y
x
J
=
0
R
x
ml
2
x
J
=
J
=
2
R
5
−
r
5
y
z
12
J
=
J
=
J
=
m
x
y
z
5
3
3
R
−
r
m
(
)
J
=
R
2
+
r
2
5
5
x
3
R
−
r
2
J
=
m
c
5
R
3
−
r
3
m
Ä
l
2
Ô
J
=
J
=
Å
Æ
R
2
+
r
2
+
Õ
Ö
y
z
4
3
m
Ä
2
Ô
J
=
Å
Æ
R
2
+
r
2
+
Õ
Ö
c
2
6
prostopadło
Ļ
cian
z
m
c
c
y
x
a
b
J
=
m
(
b
2
+
c
2
)
x
12
J
=
m
(
a
2
+
c
2
)
y
12
J
=
m
(
a
2
+
b
2
)
z
12
J
=
m
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
c
12
3
l
P
ħ
d ciała sztywnego i układu ciał
m
P
ħ
d ciała sztywnego równy jest iloczynowi
masy ciała
i pr
ħ
dko
Ļ
ci jego
Ļ
rodka masy
C
F
1
u
c
F
n
p
=
m
F
i
Pochodna wzgl
ħ
dem czasu p
ħ
du ciała sztywnego
równa jest sumie wszystkich sił zewn
ħ
trznych
działaj
Ģ
cych na to ciało.
d
p
n
C
=
=
F
dt
i
1
Przyrost p
ħ
du ciała sztywnego w sko
ı
czonym przedziale czasu
równy jest sumie impulsów sił zewn
ħ
trznych działaj
Ģ
cych na ciało.
(
C
C
)
Ã
Ð
=
n
t
2
C
m
u
−
u
=
F
i
dt
2
1
i
1
1
P
ħ
d układu ciał sztywnych równy jest iloczynowi
masy całkowitej układu i pr
ħ
dko
Ļ
ci
Ļ
rodka masy układu.
Twierdzenie o ruchu
Ļ
rodka masy
ĺ
rodek masy układu porusza si
ħ
tak,
jakby w tym punkcie skupiona była cała masa układu
i jakby do tego punktu przyło
Ň
one były
wszystkie siły zewn
ħ
trzne.
4
C
C
t
Kr
ħ
t ciała sztywnego i układu ciał
w
Kr
ħ
t ciała materialnego wzgl
ħ
dem osi obrotu
równy jest iloczynowi
momentu bezwładno
Ļ
ci wzgl
ħ
dem osi obrotu
i pr
ħ
dko
Ļ
ci k
Ģ
towej ciała.
C
m
c
K
=
C
J
l
l
l
z
Kr
ħ
t ciała materialnego
wzgl
ħ
dem
Ļ
rodka masy
m
w
Ç
J
x
−
J
xy
−
J
xz
×
Ç
w
x
×
Ç
K
x
×
È
Ø
È
Ø
È
Ø
[ ]
K
=
−
J
J
−
J
w
=
K
c
y
È
Ø
yx
y
yz
È
y
Ø
È
y
Ø
È
Ø
−
J
−
J
J
È
w
Ø
È
K
Ø
x
É
zx
zy
z
Ù
É
z
Ù
É
z
Ù
Pochodna wzgl
ħ
dem czasu kr
ħ
tu układu
ciał materialnych wzgl
ħ
dem
Ļ
rodka masy
układu równa jest sumie momentów
wszystkich sił zewn
ħ
trznych wzgl
ħ
dem
tego
Ň
Ļ
rodka.
d
K
C
n
C
c
=
=
M
ci
dt
i
1
z
Kr
ħ
t ciała materialnego wzgl
ħ
dem
dowolnego bieguna
O
równy jest
sumie kr
ħ
tu wzgl
ħ
dem
Ļ
rodka
masy
c
oraz momentu wzgl
ħ
dem
bieguna
O
wektora p
ħ
du
przyło
Ň
onego w
Ļ
rodku masy
rozpatrywanego ciała.
C
m
K
c
r
c
m
u
x
O
C
C
C
K
=
K
+
r
×
m
y
O
c
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]