teoria portfela markowitza, MATEMATYKA, Matematyka finansowa, MT FINANSOWA
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wrocław, 30.12.2007
Teoria portfela wg Markowitza
Agnieszka Por
ħ
bska
III ZIF, AE we Wrocławiu
1.
Wst
ħ
p
Analiza portfelowa jest metod
Ģ
doboru akcji do portfela inwestycyjnego, która pozwala na
redukcj
ħ
ryzyka przy osi
Ģ
ganiu jednocze
Ļ
nie okre
Ļ
lonej stopy zwrotu. Autorem teorii portfela jest
Harry Markowitz (Amerykanin, zdobywca Nagrody Nobla w 1990r. m.in. za opracowanie teorii
portfela), który po raz pierwszy przedstawił jej zasady w artykule opublikowanym w „Journal of
Finance” w 1952 r.
W pewnym przybli
Ň
eniu mo
Ň
na powiedzie
ę
,
Ň
e analiza portfelowa to narz
ħ
dzie słu
ŇĢ
ce do
wyboru i zestawiania ze sob
Ģ
odpowiednich akcji w celu obni
Ň
enia ryzyka inwestycyjnego. Cz
ħĻę
inwestorów, cz
ħ
sto nie zdaj
Ģ
c sobie z tego sprawy, dokonuje intuicyjnej dywersyfikacji ryzyka na
bazie analizy fundamentalnej inwestuj
Ģ
c w firmy o ró
Ň
nym charakterze. Do portfela wł
Ģ
czaj
Ģ
spółki
nale
ŇĢ
ce do przeciwstawnych bran
Ň
b
Ģ
d
Ņ
posiadaj
Ģ
cych odmienne struktury kapitału. Inni,
opieraj
Ģ
cy si
ħ
wył
Ģ
cznie na analizie technicznej, spo
Ļ
ród wielu firm wybieraj
Ģ
kilka, które rokuj
Ģ
najwi
ħ
ksze nadzieje na wzrost notowa
ı
. Aby zapobiec ewentualnej stracie inwestorzy bazuj
Ģ
cy na
analizie technicznej kupuj
Ģ
wi
ħ
c kilka akcji, o najwi
ħ
kszym potencjale wzrostowym. W takiej
sytuacji cz
ħ
sto zdarza si
ħ
,
Ň
e ka
Ň
da z prognoz została opracowana na podstawie ró
Ň
nych sygnałów
technicznych. Spekulanci wybieraj
Ģ
wi
ħ
c akcje wskazane przez ró
Ň
ne metody oceny, co zapewnia
im wła
Ļ
nie dywersyfikacj
ħ
ryzyka. Mo
Ň
na wi
ħ
c powiedzie
ę
,
Ň
e tak jak wszyscy mówimy proz
Ģ
, tak
wi
ħ
kszo
Ļę
z nas nie
Ļ
wiadomie stosuje analiz
ħ
portfelow
Ģ
. Tak przeprowadzana dywersyfikacja jest
jednak wył
Ģ
cznie działaniem intuicyjnym i mo
Ň
e przynosi
ę
ro
Ň
ne skutki – w praktyce ró
Ň
ne
przypadkowe poł
Ģ
czenia akcji mog
Ģ
wcale nie zmniejsza
ę
ryzyka inwestycji.
2.
Dochód, ryzyko, korelacja stóp zwrotu – parametry charakteryzuj
Ģ
ce akcje, które wg
Markowitza decyduj
Ģ
o doborze akcji do portfela.
Teoria Markowitza była pierwsz
Ģ
udan
Ģ
prób
Ģ
wyja
Ļ
nienia dlaczego inwestorzy kupuj
Ģ
akcje kilku spółek a nie jednej. Wcze
Ļ
niejsze modele opisuj
Ģ
ce zachowania inwestorów opierały si
ħ
na zało
Ň
eniu,
Ň
e inwestorzy staraj
Ģ
si
ħ
zmaksymalizowa
ę
swój dochód (warto
Ļę
bie
ŇĢ
c
Ģ
przyszłych
dochodów wynikaj
Ģ
c
Ģ
ze wzrostu cen akcji i praw przysługuj
Ģ
cych z ich posiadania). Takie
podej
Ļ
cie powinno według analizy przeprowadzonej przez Markowitza skutkowa
ę
zakupem
jednego waloru o najwy
Ň
szej oczekiwanej stopie zwrotu, a nie kilku, jak to si
ħ
działo w praktyce.
Zgodnie z modelem zaproponowanym przez Markowitza ka
Ň
dy inwestor charakteryzuje si
ħ
dwiema warto
Ļ
ciami: poziomem oczekiwanego zysku oraz akceptowanym dla tego dochodu
poziomem ryzyka. Warto
Ļ
ci te s
Ģ
ró
Ň
ne dla ka
Ň
dego inwestora w zale
Ň
no
Ļ
ci od indywidualnych
cech i preferencji (mo
Ň
na wyró
Ň
ni
ę
inwestorów ze skłonno
Ļ
ci
Ģ
b
Ģ
d
Ņ
awersj
Ģ
do ryzyka).
Poziom oczekiwanego zysku, mierzony stop
Ģ
zwrotu, okre
Ļ
la długoterminow
Ģ
tendencj
ħ
zachowania rynku akcji. Ryzyko (mierzone odchyleniem standardowym) umo
Ň
liwia ocen
ħ
waha
ı
ceny wokół tendencji. Wynika ono st
Ģ
d,
Ň
e decyzje inwestycyjne s
Ģ
obarczone niepewno
Ļ
ci
Ģ
,
dotycz
Ģ
nieznanej przyszło
Ļ
ci. Przy pomocy metod statystycznych mo
Ň
emy wyznaczy
ę
te warto
Ļ
ci
dla ka
Ň
dej akcji i przez to dokładnie j
Ģ
opisa
ę
(np. wyznaczamy oczekiwan
Ģ
tygodniow
Ģ
stop
ħ
zwrotu z danej akcji jako
Ļ
redni
Ģ
z ostatnich 30-stu historycznych, tygodniowych stóp zwrotu oraz
ryzyko mierzone odchyleniem standardowym wyliczone na podstawie tych samych danych).
Markowitz ponadto zwrócił uwag
ħ
na to,
Ň
e oprócz tych dwóch parametrów (dochód,
ryzyko), ka
Ň
da para akcji charakteryzuje si
ħ
współczynnikiem korelacji, który okre
Ļ
la zwi
Ģ
zek
zachowania obu akcji. Analiza korelacji prowadzi do stwierdzenia, czy zmiany stopy zwrotu jednej
spółki powi
Ģ
zane s
Ģ
ze zmianami stopy zwrotu akcji drugiej spółki. Niska b
Ģ
d
Ņ
ujemna korelacja
powinna (w idealnym
Ļ
wiecie) charakteryzowa
ę
akcje firm nale
ŇĢ
cych do ró
Ň
nych bran
Ň
. W
praktyce wi
ħ
kszo
Ļę
stóp zwrotu akcji spółek charakteryzuj
ħ
si
ħ
korelacj
Ģ
dodatni
Ģ
, cho
ę
zazwyczaj
nie jest ona zbyt mocna. Zdarzaj
Ģ
si
ħ
tez przykłady korelacji ujemnej, cho
ę
by spółki naftowe i
spółki transportowe (odwrotna zale
Ň
no
Ļę
wyników finansowych od cen ropy naftowej) czy te
Ň
spółki z ró
Ň
nych krajów (jednak dobieraj
Ģ
c do portfela akcje spółek z innych krajów musimy mie
ę
na uwadze pojawienie si
ħ
ryzyka kursu walutowego).
W portfelu powinny si
ħ
znale
Ņę
akcje spółek o niskiej b
Ģ
d
Ņ
ujemnej korelacji - dochody z
akcji o rosn
Ģ
cych cenach zmniejsz
Ģ
straty, poniesione na skutek spadku cen innych posiadanych
papierów warto
Ļ
ciowych. Do portfela nale
Ň
y wybiera
ę
zatem firmy o najwy
Ň
szej stopie zwrotu,
najni
Ň
szym ryzyku i najni
Ň
szej korelacji, co obni
Ň
a ryzyko portfela.
3.
Teoria portfela wielu spółek
Markowitz w swojej teorii zaproponował praktyczny sposób poszukiwania optymalnego pakietu
akcji (portfela), uwzgl
ħ
dniaj
Ģ
cego wszystkie walory wyst
ħ
puj
Ģ
ce na rynku i minimalizuj
Ģ
ce ryzyko
przy zadanej stopie zwrotu.
W celu jej zaprezentowania załó
Ň
my,
Ň
e rozpatrujemy n spółek – składników portfela, oraz
okre
Ļ
lone s
Ģ
:
-
Oczekiwane stopy zwrotu ka
Ň
dej spółki – w sumie n warto
Ļ
ci,
-
Odchylenia standardowe stopy zwrotu ka
Ň
dej spółki – w sumie n warto
Ļ
ci,
-
Współczynniki korelacji stóp zwrotu ka
Ň
dej pary spółek – w sumie 0,5n(n-1)
warto
Ļ
ci.
•
Wzory na charakterystyki portfela wielu spółek
y
Oczekiwana stopa zwrotu portfela
okre
Ļ
lona jest nast
ħ
puj
Ģ
cym wzorem:
Ã
=
n
R
p
=
w
i
E
(
R
i
)
,
i
1
Gdzie: R
p
– oczekiwana stopa zwrotu portfela; w
i
– udział i-tej spółki w portfelu (suma wszystkich
udziałów wynosi 1); E(R
i
) – oczekiwana stopa zwrotu akcji i-tej spółki.
Ze wzoru tego wynika,
Ň
e oczekiwana stopa zwrotu portfela jest
Ļ
redni
Ģ
wa
Ň
on
Ģ
oczekiwanych stóp
zwrotu składników portfela, przy czym wagami s
Ģ
udziały tych spółek w portfelu.
y
Wariancja stopy zwrotu portfela:
à à Ã
=
n
n
−
1
n
V
=
w
2
s
2
+
2
w
w
s
s
r
,
p
i
i
i
j
i
j
ij
i
i
i
=
1
j
=
i
+
1
à à Ã
=
n
n
−
1
n
Lub
V
=
w
2
s
2
+
2
w
w
Cov
,
p
i
i
i
j
ij
i
i
i
=
1
j
=
i
+
1
Gdzie: V
p
– wariancja stopy zwrotu portfela; s - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji i-tej
spółki;
i
r - współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji i-tej i j-tej spółki;
Cov
- kowariancja stóp
ij
zwrotu akcji i-tej i j-tej spółki.
y
Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela spółek
okre
Ļ
lone jest zatem wzorem:
à à Ã
=
n
n
−
1
n
s
=
w
2
s
2
+
2
w
w
s
s
r
,
p
i
i
i
j
i
j
ij
i
i
i
=
1
j
=
i
+
1
Gdzie: s - odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela.
Jak wynika z tego wzoru, ryzyko portfela zale
Ň
y nie tylko od ryzyka składników tego portfela, lecz
równie
Ň
od współczynników korelacji stóp zwrotu składników portfela, przy czym im wi
ħ
cej jest
ujemnych lub niewielkich dodatnich współczynników korelacji stóp zwrotu, tym mniejsze ryzyko
portfela.
•
Graficzne przedstawienie portfela wielu spółek, portfele efektywne
W modelu Markowitza, a tak
Ň
e w wi
ħ
kszo
Ļ
ci innych modeli analizy portfelowej nie u
Ň
ywa
si
ħ
wykresów dla poszczególnych akcji. Graficznie prezentuje si
ħ
jedynie cały rynek w postaci
mapy ryzyko-zysk. Poszczególne punkty na takiej mapie przedstawiaj
Ģ
ce pojedyncze akcje
okre
Ļ
laj
Ģ
wielko
Ļę
historycznej, b
Ģ
d
Ņ
prognozowanej stopy zwrotu oraz ryzyko ka
Ň
dego waloru.
Tworz
Ģ
c wszystkie mo
Ň
liwe portfele zło
Ň
one z akcji tych spółek, otrzymujemy pewn
Ģ
figur
ħ
, która
została zaznaczona na poni
Ň
szym rysunku (przedstawiaj
Ģ
cym przykład portfela pi
ħ
ciu spółek -
spółki, b
ħ
d
Ģ
ce portfelami jednoskładnikowymi, zaznaczone s
Ģ
jako punkty A, B, C, D E). Jest to
tzw. zbiór dopuszczalny (
feasible set
) lub zbiór mo
Ň
liwo
Ļ
ci (
opportunity set
). W jego skład wchodzi
wn
ħ
trze i brzeg figury. Jak sama nazwa wskazuje, zbiór mo
Ň
liwo
Ļ
ci jest to zbiór wszystkich
mo
Ň
liwych portfeli dost
ħ
pnych dla inwestora, tworz
Ģ
cego te portfele z pi
ħ
ciu spółek.
Spo
Ļ
ród wszystkich portfeli nale
ŇĢ
cych do zbioru mo
Ň
liwo
Ļ
ci tylko cz
ħĻę
powinna by
ę
brana pod uwag
ħ
przez inwestora. S
Ģ
to portfele le
ŇĢ
ce na krzywej mi
ħ
dzy X i E. Jest to tzw. zbiór
efektywny lub granica efektywna (
efficient set, efficient frontier
). Portfele nale
ŇĢ
ce do tego zbioru
nazywaj
Ģ
si
ħ
portfelami efektywnymi (
efficient portfolios
). Tylko one s
Ģ
atrakcyjne dla inwestora,
który kieruje si
ħ
zasad
Ģ
uzyskania jak najwy
Ň
szej oczekiwanej stopy zwrotu i jak najni
Ň
szego
ryzyka mierzonego odchyleniem standardowym stopy zwrotu (mo
Ň
liwego do uzyskania przy
zadanej stopie zwrotu). Jednym z portfeli efektywnych jest równie
Ň
portfel o minimalnym ryzyku
(MVP –
Minimum Variance Portfolio
), oznaczony tutaj przez X.
Rysunek 1. Portfel wielu spółek
Portfel efektywny jest to portfel, który:
-
Ma minimalne ryzyko w
Ļ
ród portfeli o danej oczekiwanej stopie zwrotu,
-
Ma maksymaln
Ģ
oczekiwan
Ģ
stop
ħ
zwrotu w
Ļ
ród portfeli o danym poziomie ryzyka.
Inne portfele s
Ģ
zdominowane przez portfele efektywne. Na rysunku 1. portfelem zdominowanym
jest portfel odpowiadaj
Ģ
cy punktowi U, gdy
Ň
lepsze od niego s
Ģ
np.: portfel S (ten sam dochód,
mniejsze ryzyko) oraz portfel T (to samo ryzyko, wy
Ň
szy dochód).
Powy
Ň
sze rozwa
Ň
ania dotyczyły portfela wielu spółek, tworzonego bez mo
Ň
liwo
Ļ
ci stosowania
krótkiej sprzeda
Ň
y. W przypadku dopuszczenia mo
Ň
liwo
Ļ
ci krótkiej sprzeda
Ň
y wzory opisuj
Ģ
ce
charakterystyki portfela s
Ģ
nadal aktualne – niektóre udziały s
Ģ
wówczas liczbami ujemnymi. W
przypadku zastosowania krótkiej sprzeda
Ň
y mo
Ň
emy zmniejszy
ę
ryzyko portfela (wynika to ze
wzoru na odchylenie standardowe, gdzie wówczas zmniejszamy ostatni składnik sumy ze wzgl
ħ
du
na ujemn
Ģ
warto
Ļę
jednego z udziałów) b
Ģ
d
Ņ
zwi
ħ
kszy
ę
jego stop
ħ
zwrotu (gdy sprzedajemy krótko
[ Pobierz całość w formacie PDF ]