teoria-Zmniejszona,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Pytania teoretyczne z ekonomii matematycznej, Fib SUM 2006/07
1.Scharakteryzować
przestrzeń wektorową
, jako przestrzeń towarów i cen.
Przestrzeń wektorowa l- wymiarowa
,
,
x
R
l
x
x
,
x
,
,
x
1
2
l
l
- zbiór wszystkich punktów płaszczyzny
2
R
2
x
,
y
R
2
x
x
,x
y
y
,
y
1
2
1
2
2
(x
1
,x
2
)
X
2
X
1
1
punkt
x
1
,
x
2
wektor
x
1
,
x
2
x
y
x
1
y
1
;
x
2
y
2
x
x
1
,
x
2
x
1
,
x
2
x
– plan działania konsumenta lub producenta lub pewien koszyk towarów.
•
R
l
X
x
– ilość towaru 1 w koszyku X
x
1
,
x
2
x
– ilość towaru 2 w koszyku X
2
l
mleko,
bulka
x
1
2
1
mleko,
2
bułki
2. Podać definicję
towaru
oraz opisać założenia go dotyczące.
Towar
jest to dobro lub usługa, rzecz lub czynność użyteczna zaspokająca czyjąś indywidualną potrzebę wyrażoną przez popyt na ten towar.
Żeby to miało sens musimy te towary odróżnić.
Towary różnią się:
- cechami fizycznymi (inaczej wygląda mleko inaczej sok)
- miejscem i czasem ich dostępności
Każdy towar ma określoną jednostkę
Towary są nieskończenie podzielne (jednostki mogą być w ułamkach jeśli to ma sens)
Ilość każdego towaru może być liczbą: - dodatnią, ujemną, zerem
R
działa skończona liczba producentów, a każdy z nich dąży do wyboru i realizacji takiego planu produkcji, który
maksymalizuje jego zysk przy danym systemie cen
l
p
R
l
P
J
,
p
R
l
,
Y
,
,
,
Struktura działania:
n
J
,
1
– skończony zbiór producentów
l
R
– przestrzeń towarów i cen
Y
– każdemu producentowi
J
j
przypisujemy zbiór
Y
– technologicznie możliwych planów produkcyjnych (
j
Y
–
technologie, z jakich może korzystać j-ty producent)
l
Y
j
R
y
– plan
j
Y
j
y
jest technologicznie możliwy do realizacji
j
P
– system cen (dany)
– zbiór tych planów produkcyjnych, które maksymalizują zysk j-tego producenta
j
p
j
p
Y
j
zysk
p
y
j
max
dla
y
j
Y
j
– funkcja zysku maksymalnego
j
p
j
p
p
y
j
y
j
j
p
- podaż, produkcja w równowadze
R
l
•
L
– określa ilość towaru.
•
3. Podać definicję
systemu produkcji
oraz opisać występujące w definicji pojęcia.
Zał.: W przestrzeni
j
4. Opisać strukturę działania
systemu produkcji
.
5. Podać definicję i interpretację ekonomiczną wskazanych własności zbiorów produkcji. Podać
przykład zbioru
(narysować) w
przestrzeni
2
Y
,
są domknięte, tzn., jeżeli dla ustalonego planu produkcji
j
y
j
y
0
wszystkie plany dowolnie bliskie
j
y
j
Y
j
y
j
Y
j
.
0
+
_
_
2.
Możliwość zaniechania produkcji (indywidualnej, całkowitej)
y
j
0
Y
j
Y
j
, tzn., producent może nic
R
2
nie robić.
+
_
3.
Niemożliwość produkcji wolnej, tzn., nie można produkować czegoś z niczego,
Y
R
2
0
R
2
x
,
x
:
x
0
x
0
1
2
1
2
Y
R
2
0
0
lub
Y
R
2
- łatwiejszy zapis.
+
+
_
Y
R
2
0
Y
2
R
Istnieje taki
y
j
0
Y
R
2
4.
Nieodwracalność procesu produkcji całkowitej
Y
Y
0
lub
Y
Y
Y
- zbiór planów
przeciwnych.
2
{jajako,
jajecznica
}
-y
1
2
,
.
Dla technologicznie możliwego planu
y
to
Y
y
y
y
Y
0
plan przeciwny
y
nie jest możliwy do zrealizowania.
Y
Y
Y
Y
Y
Y
+
_
+
Y
Y
0
Istnieje
y
0
Y
y
Y
0
1
Y
Y
5.
Addytywność
Y
j
Y
j
Y
j
(suma algebraiczna).
~
j
,
y
ˆ
j
Y
j
~
j
y
j
Y
j
Dwa plany technicznie
możliwe można zrealizować wspólnie.
, który spełnia i takiego, który nie spełnia danej własności.
1.
Zbiory
0
y
Jeżeli
Y
y
y
ˆ
~
j
ˆ
j
+
Y
j
_
6.
Wypukłość. Zbiory
Y
Y
j
,
są wypukłe.
y
1
j
,
y
2
j
Y
j
t
y
1
j
1
t
y
2
j
y
1
j
y
2
j
y
2
j
y
1
j
Y
j
_
7.
Y
- jest stożkiem o wierzchołku
j
0
.
+
+
_
8.
Swobodny dostęp do dóbr.
Y
2
R
- ćw. III
+
_
+
+
+
+
9.
Y
- zbiór zwarty (domknięty i ograniczony).
j
IV. Związki między własnością zbioru produkcji a zyskiem maksymalnym.
1.
Jeżeli (0,0) € Y
j
=> pi
j
(p) >= 0 dla p € T
j
.
2.
Jeżeli Y
j
+ Y
j
c Y
j
=> pi
j
(p) =< 0 p € T
j
.
3.
Jeżeli
0
Y
j
Y
j
Y
j
Y
j
j
p
0
dla
p
T
j
.
4.
Jeżeli
Y
jest zbiorem wypukłym to zbiór planów, które maksymalizują zysk też jest wypukły.
j
5.
Jeżeli
Y
jest zbiorem zwartym to
j
T
j
(dla każdego systemu cen
R
2
p
istnieje maksymalizacja zysku.
R
2
6.
Jeżeli
Y
jest stożkiem o wierzchołku
j
O
to
0
0
dla
j
p
p
.
T
j
6. Podać
definicję
systemu konsumpcji
oraz opisać występujące w definicji pojęcia.
System konsumpcji
I
,
p
R
l
,
,
X
,
,
,
,
I. Model – formalny i struktura działania
•
m
I
,
1
2
- skończony zbiór konsumpcji.
•
R
- przestrzeń towarów i usług
l
•
Dla każdego konsumenta wyznaczony jest zbiór
X
,
i
R
l
X
- zbiór wszystkich możliwych do realizacji planów
i
konsumpcji
X
,
i
i
,
1
2
m
K
X
1
X
2
X
m
X
- zbiór konsumpcji całkowitej
x
i
X
i
x
1
x
2
x
m
x
- popyt całkowity
x
- plan konsumpcji, koszyk towarów, popyt i-tego (1) konsumenta.
1
•
- relacja słabej konkurencji i-tego konsumenta. (Umożliwia porównanie dwóch możliwych do realizacji
planów konsumpcji)
i
x X
X
i
i
x
1
i
,
x
2
i
X
i
x
1
i
x
2
i
- koszyk
x
1
jest preferowany przez i-tego konsumenta co najwyżej tak jak
i
x
2
(pierwszy
i
i
koszyk jest lepszy od drugiego, drugi koszyk jest nie gorszy od pierwszego).
•
p
-system cen,
•
~
- każdy konsument posiada zasoby początkowe
e
i
R
l
e
- całkowite zasoby ekonomii.
~
1
e
2
e
m
•
Dla każdego konsumenta wyznaczony jest zbiór
ograniczeń budżetowych
i
X
i
i
x
i
X
i
:
p
x
i
w
i
w
i
R
Wydatki
konsumenta
Majątek
konsumenta
w
i
p
e
i
•
x
i
i
:
x
i
x
i
dla
kazdego
x
i
i
- zbiór planów
x
najlepszych względem relacji
w zbiorze
i
x
- plan konsumpcji maksymalizujący użyteczność (preferencje) w zbiorze ograniczeń budżetowych – konsumpcja w
równowadze.
i
7.`Opisać
zasadę działania systemu konsumpcji
.
8. Podać
definicją relacji
preferencji, funkcji użyteczności oraz krzywej obojętności. Podać przykład (opis+rysunek).
Def.1.
Relację
nazywamy relację preferencji i-tego konsumenta, jeśli spełnia następujące własności:
i
xX
X
i
i
i.
Jest zwrotna wtedy i tylko wtedy
x
dla każdego
i
x
i
x
.
i
X
i
i
i
ii.
Jest przechodnia wtedy i tylko wtedy
x
1
i
i
x
2
i
x
2
i
x
3
i
x
1
i
x
3
i
x
i
,
x
2
i
,
x
3
i
X
i
i
i
i
i
iii.
Jest spójna (zupełna) wtedy i tylko wtedy
x
1
lub
i
x
2
i
x
2
i
x
1
i
x
1
i
,
x
2
i
X
i
.
i
i
i
Te trzy własności powodują, że zachowanie konsumenta jest racjonalne.
Def.2.
Funkcję
u
i
:
x
i
nazywamy funkcję użyteczności i-tego konsumenta wtedy i tylko wtedy, gdy
R
x
1
i
x
2
i
u
i
x
1
i
u
i
x
2
i
dla każdych
x
1
i
,
x
2
i
X
i
.
i
Relacja silnej preferencji
x
1
i
x
2
i
u
i
x
1
i
u
i
x
2
i
- koszyk drugi jest zdecydowanie lepszy niż pierwszy.
i
Relacja obojętności
x
1
i
~
x
2
i
u
i
x
1
i
u
i
x
2
i
- dwa plany są obojętne.
i
Przykład.1.
Porównaj plany konsumpcji uwzględniając relację preferencji, gdy preferencje reprezentuje funkcja użyteczności:
2
x
1
2
,
x
2
x
1
x
.
x
1
i
1
2
u
x
1
i
2
1
2
4
x
2
i
2
u
x
2
i
2
2
1
5
x
3
i
1
,
u
x
3
i
2
1
3
4
2
2
u
i
x
1
i
u
x
2
i
i
u
x
1
i
u
x
3
i
x
1
i
x
2
x
1
i
~
x
3
i
i
Zbiór planów konsumpcji, które mają taką samą użyteczność (są względem siebie obojętne) tworzą tzw. krzywą obojętności.
i
x
i
X
i
:
x
i
~
x
i
x
i
X
i
:
u
x
i
c
,
gdy
c
u
x
i
0
i
0
0
Przykład.2.
i
1
u
x
ˆ
Narysować krzywe obojętności związane z funkcją użyteczności
2
u
x
21
2
,
x
x
1
x
>
a)
Wyznaczyć zbiór planów obojętności względem
i
x
3
4
u
x
,
x
c
c
R
x
i
R
2
1
2
2
x
1
2
c
x
2
2
1
c
c
4
:
x
2
2
x
1
4
c
2
:
x
2
2
x
1
2
•
Krzywe obojętności nie mogą się przecinać,
•
Możemy odczytać z wykresu, w którym kierunku wzrastają, czyli, w którym kierunku wzrasta c,
•
Przez każdy punkt może przechodzić tylko jedna krzywa obojętności.
u
(
1
x
x
)
10
C=10
C=2
C=4
10
x
1
,
x
2
~
3
4
u
x
1
,
x
2
u
3
4
c
10
x
2
2
x
1
10
9. Podać definicję wskazanej własności relacji preferencji. Podać przykład zbioru konsumpcji i relacji preferencji (opis +rysunek)
takich, aby własność zachodziła i takich by nie własność nie była spełniona. Odpowiedź uzasadnić.
10. Zdefiniować ekonomię z własnością prywatną.
11. Podać definicję stanu równowagi w modelu ekonomii z własnością prywatną.
12. Opisać zasadę działania ekonomii z własnością prywatną.
Przykładowy zestaw egzaminacyjny.
Zad.1. Scharakteryzować przestrzeń wektorową, jako przestrzeń towarów i cen.
Zad 2. Podać definicję wypukłości relacji preferencji. Podać przykład zbioru konsumpcji i relacji preferencji (opis +rysunek) takiej, która
jest wypukła i takiej, która nie jest wypukła w tym zbiorze konsumpcji . Odpowiedź uzasadnić.
Zad.3. W systemie produkcji, działa producent o zbiorze produkcji:
y
,
y
2
:
y
3
y
2
y
3
1
2
1
2
1
u
1
x
,
x
x
2
x
,
x
2*
= (3,4), y
1*
= (-1,2), e(1)=(2,4), e(2)=(2,6),
1
2
2
Y y y y y y
2
,
2
:
3
0
. Wyznaczyć (o ile istnieje) stan równowagi.
1 2
1 2 1
Y
j
. Wyznaczyć zbiór systemów cen maksymalizujących zysk, zbiór planów
produkcji maksymalizujących zysk oraz funkcję zysku maksymalnego dla danego producenta.
Zad. 4. W ekonomii
E
Debreu z własnością prywatną dane są:
l=2, I={1,2}, J={1,2}, p=(2,1),
X
i
2
,
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]