teoretyczne 2 kolokwium 2 semestr, Semestr 1, Analiza I, sem. 2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PRZYKŁADOWE ZADANIA TEORETYCZNE II
1. Poda¢ definicje: ci¡gu funkcyjnego, zbie»no±ci ci¡gu funkcyjnego oraz jego
granicy. Znale¹¢ granice ci¡gów funkcyjnych:
f
n
(
x
) =
n
sin
n
f
n
(
x
) =
n
tg
n
, x
2
D
0
,
4
E
f
n
(
x
) =
n
p
1 +
x
n
, x
2h
0
,
1
)
2. Poda¢ definicj¦ obszaru zbie»no±ci szeregu funkcyjnego.
Znale¹¢ obszary zbie»no±ci szeregów
P
n
=1
e
−
nx
P
sin(
nx
)
n
2
n
=1
3. Sformułowa¢ twierdzenie o ró»niczkowaniu szeregu pot¦gowego. Sprawdzi¢, »e
P
n
=1
nx
n
−
1
=
1
(1
−
x
)
2
dla
|
x
|
<
1.
P
Obliczy¢
2
n
.
n
=1
4. Sformułowa¢ twierdzenie o całkowaniu szeregu pot¦gowego. Sprawdzi¢, »e
P
n
=
−
ln (1
−
x
) dla
|
x
|
<
1. Obliczy¢
P
n
3
n
.
n
=1
n
=1
5. Udowodni¢, »e dla ka»dej liczby rzeczywistej
x
szereg
P
n
!
jest zbie»ny do
n
=0
funkcji
f
(
x
) =
e
x
.
6. Sformułowa¢ kryterium Dirichleta o zbie»no±ci szeregu trygonometrycznego.
Narysowa¢ wykres sumy szeregu Fouriera dla funkcji
f
(
x
) =
sign
(
x
)
, x
2h−
,
i
f
(
x
) =
x
−
1
, x
2
(
−
2
,
2).
7. Poda¢ włsno±ci całki po przedziale domkni¦tym w przestrzeni
R
n
.
8. Sformułowa¢ i udowodni¢ twierdzenie o obliczaniu całki z funkcji ci¡głej po
obszarach normalnych na płaszczy¹nie.
9. Całk¦ podwójn¡ zamieni¢ na całki iterowane, je»eli obszar
D
ograniczony jest
krzywymi:
a
)
y
=
|
x
|
, x
= 1
, x
=
−
1
, y
= 0
b
)
x
2
−
4
x
+
y
2
+ 6
y
−
51 = 0
1
n
x
n
1
x
n
1
−
p
1
−
x
2
f
(
x,y
)
dy
dx
.
Narysowa¢ obszar całkowania.
R
2
−
x
2
kolejno±¢
całkowania
w
całce
iterowanej
−
1
f
(
x,y
)
dy
dx
.
Narysowa¢ obszar całkowania.
R
2
−
p
4
x
−
x
2
kolejno±¢
całkowania
w
całce
iterowanej
12. Sformułowa¢ twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej.
Wprowadzaj¡c uogólnione współrz¦dne biegunowe obliczy¢ pole elipsy o osiach
a
i
b
.
13. Sformułowa¢ twierdzenie o zamianie całki z funkcji ci¡głej po obszarach
normalnych w przestrzeni
R
3
na całki iterowane.
14. Sformułowa¢ twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej.
Wprow
adzaj¡c
współrz¦
dne sferyczn
e obliczy¢ obj¦to±¢ bryły
V
= (
x,y,z
)
2
obj¦to±ci kuli:
x
2
+
y
2
+
z
2
¬
2
z
znajduje si¦ wewn¡trz sto»ka
z
=
p
x
2
+
y
2
.
16. Poda¢ definicj¦ oraz interpretacj¦ fizyczn¡ całki krzywoliniowej skierowanej.
dx
+
x
+
xy
+
p
2
−
x
dy
, gdzie
K
jest
brzegiem trójk¡ta o wierzchołkach:
A
(0,0),
B
(1,1),
C
(0,2) skierowanym
zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
x
−
y
+
y
2
2
18. Korzystaj¡c z twierdzenia Green’a wykaza¢, »e pole obszaru ograniczonego
krzyw¡ regularn¡ zamkni¦t¡ K wyra»a si¦ wzorem
1
2
I
P
=
K
xdy
−
ydx
. Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego asteroid¡
(
x
=
a
cos
3
t
y
=
a
sin
3
t
K
=
0
¬
t
¬
2
19. Poda¢ definicj¦ potencjału pola sił. Sprawdzi¢, »e pole wktorowe
i
jest potencjalne.
Obliczy¢ prac¦ tego pola podczas ruchu po dowolnym łuku ł¡cz¡cym punkty
A
(1,2) i
B
(2,1) i nie przechodz¡cym przez o±
Oy
.
20. Wykaza¢, »e w potencjalnym polu sił praca nie zale»y od drogi ł¡cz¡cej punkty
A
i
B
oraz jest równa ró»nicy warto±ci potencjału w tych punktach.
2
x
, y
ln
x
i
po okr¦gu (
x
−
3)
2
+ (
y
−
7)
2
= 5
skierowanym dodatnio.
2
10. Zamieni¢
R
1
−
1
11. Zamieni¢
R
1
0
R
3
:
p
x
2
+
y
2
¬
z
¬
p
4
−
x
2
−
y
2
.
15. Okre±li¢ współrz¦dne sferyczne. Stosuj¡c te współrz¦dne obliczy¢ j
aka cz¦±
¢
17. Sformułowa¢ i udowodni¢ twierdzenie Green’a.
Obliczy¢ całk¦
H
K
F
(
x,y
) =
h
x
2
,
−
1
x
Obliczy¢ prac¦ pola sił
F
(
x,y
) =
h
y
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]