teoria miary w prawdopodobie 8222 stwie, 7 semestr, Analiza rzeczywista
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Denicja1Niech;,(/,funkcje?';!;&)$')"nazywamymetryka,gdy:
1)-
@'A%0
?!I'J"($'(I(J
2)-
@'A%0
?!I'J"(?!J'I"
3)-
@'A'B%0
?!I'J"%?!I'K"#?!K'J"
Pare!;'?"nazywamyprzestrzeniametryczna.
Example21)!#'?",! '?"gdzie?!I'J"(>IJ>
2)Niech:przestrze·nliniowanad#! ".Niech? ?':&)$')"bedzienorma,tj.funkcja
speniajacawarunki:
!-
@%/
"?I?($'(I(
!-
@%/
"!-
?%
!
"?HI?(>H>?I?
!-
@'B%/
"?I#K?%?I?#?K?.
Wwczasfunkcja?':!:&)$')"danawzorem?!I'J"(?IJ?jestmetryka.
Denicja3Niech!;'?"bedzieprzestrzeniametryczna.Kulao·srodkuwI
#
*;ipromieniu
G*$nazywamyzbir3!I
#
'G"(<J*;'?!I
#
'J"(G=
Denicja4Niech!;'?"bedzieprzestrzeniametryczna.Zbir9#;nazywamyotwartym
gdy
!-
@%.
"!.
>(#
"3!I'G"#9.
Denicja5Rodzine$zbiorwotwartychw!;'?"nazywamytopologia.
Twierdzenie6Wasno
·
scitopologii:
1)/';*$,2)!-
.'/%$
"99:*$,3)!-
)!$
"
,
4*$
4%AUGFXKTUPKGLGUCMKG1*4#
]
YGI*1%=QPKGWC
]
Y1
LGTUQUWCSUX#UQKTUPKGLGUCMKGG*$#
]
YG3!I'G"#1#
,
,
,
4%BCUGO
4*$%
Denicja7Niech!;'?"bedzieprzestrzeniametryczna.Zbir-#;nazywamydomknietym,
gdy;@-*$.Rodzinezbiorwdomknietychoznaczamy3.
Twierdzenie8Wasno·scirodzinyzbiorwdomknietych:
1)/';*3,2)!-
)'*%(
"+8,*3,3)!-
*!(
"
-
5*3.
BMC
]
YFXOYDKQSGO+#;OQ
]
YPCYWK^CYC\EYDKQSX+QSCY2DH+%
Denicja9Domknieciemzbioru+#;nazywamynajmniejszy(wsensieinkluzji)zbir
domknietyzawierajacy+.Oznaczamy+.
'
Dowd.)";KGEJ4#$%;KGEJI*
Denicja10Wnetrzemzbioru+#;nazywamynajwiekszy(wsensieinkluzji)zbirotwarty
zwartyw+.Oznaczamy2DH+.
Twierdzenie11Nastepujacewarunkisarwnowa
•
zne:
(i)I*+
(ii)!-
.%$
"!I*9(99+,(/"
(iii)!-
>(#
"!3!I'G"9+,(/"
Dowd.!K"(!KK"=SYXRV
\
T
\
EOX#
]
YGKTUPKGLG9*$UCMK#
]
YGI*9QSCY99+(/#UYP%9#+
3
%
A_WEYCT+@9LGTUYDKQSGOFQOMPK^GUXOQSCY+#+@9EQRSYGEYXFGZPKELK+%
Twierdzenie12Nastepujacewarunkisarwnowa•zne:
(i)I*2DH+
(ii)!.
.%$
"I*9#+
(iii)!.
>(#
"3!I'G"#+.
Denicja13Niech!;'?"bedzieprzestrzeniametryczna.Zbir.nazywamygestymw;je·sli
.(;.
Twierdzenie14Nastepujacewarunkisarwnowa•zne:
(i).jestgestyw;
(ii)
99.,(.
(iii)!-
>(#
"!-
@%0
"3!I'G"9.,(/
Denicja15Przestrze·nmetryczna!;'?"nazywamyo·srodkowagdyistniejewniejprzeliczalny
zbirgesty.
Denicja16Bazawprzestrzenimetrycznej!;'?"nazywamyrodzine1#$speniajaca
warunek
!-
,%$
"!.
'
!
!'
"1(
,
1
,
.
8VNGWRSYGTUSYGPKOGUSXEYPGL!;'?"UWQSY^CDCY^G% 6TUQUPKG#PKGEJ9D^GFYKGYDKQSGO
QUWCSUXO%A_WEYCTFNCMC
]
YFGIQI*9KTUPKGLGMVNC3
@
!Q\TSQFMVWI"UCMC#
]
YG3
@
#9%
AUGFX9(
,
3
@
%:Q
]
YPCYCVWC
]
YX\E#
]
YGMVNGQRSQOKGPKCEJWXOKGSPXEJ!NVDQRSQOKGPKCEJ
;
"UG
]
YUWQSY^CDCY^G%
@%.
Twierdzenie17Je·sli!;'?"jestprzestrzeniametrycznao·srodkowa,to$mabazeprzeliczalna.
Dowd.2CY^GUWQSY^CMVNGQ\TSQFMCEJWRVPMUCEJRSYNKEYCNPGIQYDKQSVI^GTUGIQKRSQOKGPKCEJ
$
(
-
.%$0-&.
$
;
%
Wniosek18Dlaka•zdejrodziny4#$wo·srodkowejprzestrzenimetrycznej!;'?"istnieja
,
,
zbiory1
$
'1
%
'&&&*4takie,
•
ze
4(
1
7
.
7'$
Denicja19We·zmyciagpunktw!I
$
'I
%
'&&&"elementwprzestrzenimetrycznej!;'?".
Mwimy,
•
zeciagI
;
zbiegadoIgdy
.-/
;#$
I
;
(I'(!-
%(#
"!.
9
"!-
;"9
"?!I
;
'I"(%.
Twierdzenie20Ka
•
zdy ciag zbie
•
zny spenia warunek Cauchyego tzn.
!-
%(#
"!.
9
"!-
;':"9
"?!I
;
'I
:
"(%.
7G
]
YGNKYCEJQFYKKORNKMCELCWFSVI^CTUSQP^G#EYXNKLG\TNKMC
]
YFXEK^CITRG`PKCL^CEXWCSVPGM
3CVEJX[GIQOCISCPKE^G#UQO_WKOX#
]
YGRSYGTUSYG\P!;'?"LGTUYVRG`PC%
Example21!#'> >"jestzupena,!)='>*'> >"jestzupena,!!='>"'> >"niejestzupena,
bociag
=#
$
;
Denicja22Mwimy,
•
zeprzestrze·nmetryczna!;'?"jesttopologiczniezupena,je·sliistnieje
metryka"w;deniujacatesamatopologietaka,
•
ze!;'""jestzupena.
Denicja23Zbir3wprzestrzeni!;'?"nazywamyzwartym,je·slidlaka
•
zdejrodzinyzbiorw
otwartych4takiej,
•
ze3#
,
4istniejesko·nczonapodrodzina1
$
'&&&'1
;
#4taka,
•
ze3#
,
1
7
.
7'$
Twierdzenie24Nastepujacewarunkisarwnowa
•
zne:
(i)3jestzwarty
(ii)!-
%(#
"!.
@
!
'&&&'@
&
"3#
;
,
3!I
7
'%"oraz3jestdomknietyi!;'?"jestzupena
7'$
(iii)dlaka
•
zdegociagu!I
;
"
;%
takiego,
•
zeI
;
*3dlaka
•
zdegoD*!istniejepodciagI
;
%
taki,
•
ze.-/
9#$
I
;
%
(I*3.
Denicja25Niech!;'?",!<'""bedaprzestrzeniamimetrycznymi.Niech@';&<.
Mwimy,
•
ze@jestciagawI
<
*;,gdy
!-
%(#
"!.
(#
"!-
@%0
"!?!I'I
<
"( ("!@!I"'@!I
#
""(%".
Mwimy,•ze@jestciaga,gdyjestciagawka•zdympunkcjeI*;,tj.
!-
@%0
"!-
%(#
"!.
(#
"!-
@%0
"!?!I'I
<
"( ("!@!I"'@!I
#
""(%"
)
$
;%
jestciagiemCauchyego,aleniemagranicywtejprzestrzeni.Ale!!='>"'?"
gdzie?!I'J"(>HAIHAJ>jestzupena.
;
5VPMELC@LGTUEK^CI`CW;LG\TNK
-
/QUWCSUGIQW 1'"!
9(@
$
!:"LGTUQUWCSUXW!;'?"%
Denicja26Mwimy,
•
ze@';&<jestjednostajnieciagaw;je·sli:
!-
%(#
"!.
(#
"!-
@'A%0
"!?!I'J"( ("!@!I"'@!J""(%"
Denicja27Mwimy,•zefunkcja@';&<speniawarunekLipschitzazestaa4je·sli
!-
@'A%0
""!@!I"'@!J""%4 ?!I'J"
Twierdzenie28Niech@';&<.Zachodzanastepujaceimplikacje:@speniawarunek
Lipschitza(@jestjednostajnieciaga(@jestciaga.
Denicja29Funkcje@';&<,gdzie!;'?"i!<'""saprzestrzeniamimetrycznymi,
nazywamyhomeomorzmemje
·
slijestbijekcja,jestciagaifunkcjadoniejodwrotnajestte
•
z
ciaga.
Denicja30Niech;dowolny,niepustyzbir.Rodzine3#7!;"nazywamy#-ciaem(#-
algebra)zbiorwje·sli:
1)/*3
2)!-
)%(
"+
3
*3
,
3)!-
)
!
')
"
'&&&%(
"
+
;
*3
;'$
-
BFGZPKELK#$EKC`CWXPKMCPCUXEJOKCTU#
]
YG'";*3#("!-
)
!
')
"
'&&&%(
"
+
;
*3%=QPCFUQ
WXPKMKWTYXTUMKEJUXRQWXEJFYKC`C\POPQIQ\TEKQWXEJ! @ ' + "YDKQS_WY3PCNG
]
Y^CFQ3%
;'$
Uwaga31Je·sli0#7!;"toistniejenajmniejszewsensieinkluzji#-ciaozawierajace0.
Oznaczamyje#!0"imwimy,
•
ze0generuje#!0".
Exercise32Jakwyglada#!0
7
"dla0
$
(<;
$
';
%
'&&&';
;
=gdzie;
9
9;
8
(/dlaC,(Bi
,
;(
;
;
.0
%
(<<I='I*;=i;jestnieprzeliczalny.
9'$
Denicja33Je·sli!;'?"jestprzestrzeniametrycznatonajmniejsze#-ciaozbiorw
zawierajacezbioryotwartenazywamy#-ciaemzbiorwborelowskich.Oznaczamy1
@
(#!$".
Uwaga34Ka
•
zdyzbirdomknietyjestzbioremborelowskim.Wszczeglno·scika
•
zdysingleton
<I=jestzbioremborelowski,.Wszystkiezbioryprzeliczalnesaborelowskie.Rwnie
•
zzbiorytypu
0
#
i1
nale•zadozbiorwborelowskich.
*
$
$
;
-
Denicja35Zbir1jesttypu1
je·slijestpostaci1(
1
;
gdzie1
;
saotwarte.Zbir0
,
;'$
jesttypu0
#
je·slijestpostaci0(
0
;
gdzie0
;
sadomkniete.
Zauwa
•
zmy,
•
zedopenieniezbiorutypu1
jestzbioremtypu0
#
iviceversa.
;'$
Uwaga36Uwagioliczno·sci:
1)Przestrze
·
nmetrycznao
·
srodkowamamocmniejszarwnani
•
z
!
.
2)Nieprzeliczalna,o·srodkowaprzestrze·nmetrycznazupenamamoc
!
.
3)Wniesko·nczonejo·srodkowejmetrycznejprzestrzenizupenejrodzinazbiorwborelowskich
mamoc
!
.
4)Ka•zdyzbirborelowskiwnieprzeliczalnejprzestrzenimetrycznej,o·srodkowejizupenej
jestalboprzeliczalnyalbomocy
!
.
Denicja37DladowolnegoI*;izbioru+#;zdeniujmyodlego·s·cpunktuodzbioru
?!I'+"(-0,
2%)
?!I'=".
Uwaga38?!I'+"($'(I*+.
Twierdzenie39Funkcja?! '+"';&)$')"speniawarunekLipschitzazestaa%,tzn.
>?!I'+"?!J'+">%?!I'J".
B%)
QUSYXOVLGOX
?!I'+"%?!I'J"#?!J'+"%BCUGO?!I'+"?!J'+"%?!I'J"%1PCNQIKEYPKG?!J'+"
?!I'+"%?!I'J"%?U^CFUGYC%
Twierdzenie40Ka
•
zdyzbirdomknietyw!;'?"jestiloczynemzstepujacegociaguzbiorw
otwartych(wszczeglno·scijest1
).
Dowd.;KGEJ+D^GFYKGYDKQSGOFQOMPK^GUXO%I*+'(?!I'+"($'(-
;%
?!I'+"(
-
#
$
-
$
$
;
'(I*
J'?!J'+"(
$
;
(
?
$
! '+"
)'
$
;
%
;'$
;'$
Denicja41Je·sliwzbiorze;mamywyr
•
znione#-ciaozbiorw3,topare!;'3"mazywamy
przestrzeniamierzalna.
$
!,"*3.
Wszczeglno·scije·sli;,<saprzestrzeniamimetrycznymi,tofunkcje@';&<!1
@
'1
A
"-
mierzalnanazywamyborelowska.
+
$
$
Dowd.;KGEJI'J*;#K*+%:COX
?!I'+"%?!I'K"%?!I'J"#?!J'K"%
=SYXM`CFCL^CERQQDVTUSQPCEJPKGS_WPQ\TEK-0,
$
Denicja42Niech!;'3"i!<'6"bedaprzestrzeniamimierzalnymi.Funkcje@';&<
nazywamy!3'6"-mierzalnaje·sli
!-
*%+
"@
[ Pobierz całość w formacie PDF ]