teoriamn, Informatyka Studia WAT WIT POLITECHNIKA, Semestr II 2015, AM2, Analiza Matematyczna, Logika, Logika
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
–1–
Podstawymatematykidlainformatyków
Wstępdoteoriimnogości
Proponowanaliteratura
Podręczniki:
[1] KazimierzKuratowski,AndrzejMostowski,
Teoriamnogości
,MonografieMatematycznet.
XXVII,W-wa1978,
[2] JerzyTiuryn,
Wstępdoteoriimnogościilogiki
,Wrocław2000,
[3] HelenaRasiowa,
Wstępdomatematyki współczesnej
,PWNW-wa2003,
[4] ZofiaAdamowicz,PawełZbierski,
Logikamatematyczna
,PWNW-wa1991,
[5] AgnieszkaWojciechowska,
Elementylogikiiteoriimnogości
,PWNW-wa1979.
Zbioryzadań:
[1] Igor A.Ławrow, ŁarisaL.Maksimowa,
Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej i
teoriialgorytmów
,PWNW-wa2004,
[2] JanuszOnyszkiewicz,WiktorMarek,
Elementylogikiiteoriimnogości
,PWNW-wa2004.
–2–
Zaryshistoriiteoriimnogości
Ewolucja myśli matematycznej przebiega w sposób nieprzerwany od co najmniej 5 000
lat. Wiodła ona od, jak byśmy to dziś powiedzieli, aplikacji arytmetycznych poprzez rozwój
geometrii i algebry oraz próby formalizacji idei matematycznych z wykorzystaniem dorobku
filozofówzwanegoodczasówArystotelesalogiką. Wrazzewzrostempoziomukomplikacjianal-
izowanychobiektówmatematycypotrzebowalicoraztonowychnarzędzipozwalającychnajed-
noznaczny opis zarówno nowouzyskiwanych wyników jak i tych, które były znane stosunkowo
dawno, ale język ich opisu był mało prezyzyjny. Takie pojęcia jak zbiór i zawieranie były
w przeszłości rozumiane intuicyjnie, między innymi z uwagi na geometryczne odniesienia, i
nie budziły sporów interpretacje tych pojęć. Kłopoty zaczęły się pojawiać w momencie, gdy
obiektem rozważań były pojęcie równoliczności zbiorów, czy też pojawienia się w kontekście
zbioru pojęcia liczby czy wielkości. Jednym z takich problemów był problem nieograniczonej
„podzielności”czy „rozciągliwości” badanyjużprzezpitagorejczyków. Tenproblemprowadził
częstodokłopotównaturyfilozoficznejidotykałonzarównoeleatówjakBolzanaiCantora.
Porazpierwszyzzagadniemrównolicznościlubbardziejprecyzyjnieuogólnionejrównolicz-
nościpojawiasięwpracachGalileusza,którywykazujewzajemniejednoznacznąodpowiedniość
międzyliczbaminaturalnymiiichdrugimipotęgami.
Dziśwydajesięconajmniejniezrozumiałe,jakprzezcałewiekimogłybyćutrzymywanei
kultywowanepoglądymatematyczne,októrychdziświemy,żebyłynieprecyzyjnelubcałkowicie
błędne. Wytłumaczenie tego zjawiska wydaje się jednak być dość nieskomplikowane. Mi-
anowicie, nie istnieło wewnętrzne zapotrzebowanie matematyki na precyzje w tym względzie.
Rozwój analizy matematycznej jaki dokonał się w XIX wieku za sprawą wielu ówczesnych
matematyków wśródktórych należy wymienić Cauchy’ego, Weierstrass’a, Bolzano, Riemanna,
Poincar´ego,Mittag-Leffera,Cantora,Dedekinda,BernsteinaiPeano. Talistaniejestoczywiście
kompletna,alewymienionenazwiskawskazująnarangędostrzeżonegoproblemu.
Bez wątpienia za ojca teorii mnogości w jej dzisiejszym rozumieniu należy uznać matem-
atyka niemieckego Georga Ferdynanda Ludwiga Cantora (1845-1918). Wychodząc od analizy
prac Riemanna doszedł problemów związanych z przeliczalnością oraz konstruowaniem liczb
rzeczywistych. W latach 1878-1884 Cantor ogłosił cykl sześciu rozpaw poświęconych prob-
lemomrównoliczności,teoriizbiorówcałkowicieuporządkowanych,własnościomtopologicznym
R
i
R
n
,atakżeproblemommiary. Wprowadzeniew1882rokuprzezCantorapojęciazbiorudo-
brzeuporządkowanegodajepodstawędobadanialiczbkardynalnychorazpozwalasformułować
„hipotezęcontinuum”. OpórmatematykówwobecwynikówCantorabyłdośćjednolityitwardy.
JedynieCarlWeierstrassbyłnastawionydojegowynikówżyczliwie. Opórtenpowodowanybył
rewolucyjnym charakterem tych wyników, burzyły one bowiem ponad dwutysięczną tradycję
matematyczną. Po wynikach Cantora przyszła kolej na uzupełniejące je rezultaty Bernsteina
iZermelo. Prawdziwym sojusznikiem Cantora w pracach nadteorią mnogości był JuliusWil-
helm Richard Dedekind (1831-1916). Niektóre spośród wyników uzyskanych przez Cantora i
jego kontunuatorów były odkryte przez Dedekinda jednak nie zostały one opublikowane. Co
więcej wiele wyników tego ostatniego pokazało jak w pełni należy stosować teorie aksjomaty-
czne. Mianowicie,Dedekindrozważającogólneprzypadkizbiorów,anietylkozbiorówcałkowicie
–3–
uporządkowanych,dochodzidozbiorówkratowychigruntownieanalizujeichwłasności. Chociaż
w odróżnieniu od wyników Cantora, rezultaty uzyskane przezDedekinda nie znalazły natych-
miastowegozastosowania,tookazałysięoneniezwykleważniejużwnieodległejprzyszłości.
WynikipracCantorapozwoliłynaformalizacjęmatematyki,ajednocześniedałypoczątek
upowszechnianiusięmetodaksjomatycznych. Jednakpozatymosiągnięciemdałyonepoczątek
kryzysowipodstawmatematyki. Pojawiłysięotoparadoksyteoriimnogości. Większośćznich
była bliźniaczo podobna, pod względem natury, do tych z jakimi zetknięto się wcześniej przy
odkryciugeometriinieeuklidesowych. Skonstatowaćtomożnasformułowaniemzaczerpniętymz
Elementówhistoriimatematyki
NicolasaBourbaki,że
próżnesąpróbyzbudowaniajakiejkolwiek
teorii matematycznej za pomocą odwoływania się (jawnego lub nie) do„intuicji”
.Szłozatem
o to, by dla teorii mnogości stworzyć podstawę aksjomatyczną analogiczną do układu aksjo-
matówgeometriielementarnej,bezdociekaniaconazywamyzbiorem,wsensienaturyobiektu,
jak również nie jest definiowane przynależenie do zbioru, a jedynie wyraźnie formułowane są
warunkicharakteryzująceprzynależnośćdoustalonegozbioru. Pierwszym,któryzbudowałtaką
aksjomatyzację był Zermelo i stało się to w 1908 roku. Próba ta uzupełniona przez wynki
Skolema i Fraenkla pozwoliła na konstrukcję aksjomatyki teorii mnogości, jednak ceną jaką
należałozatozapłacić,byłakomiecznośćwprowadzeniatakżeregułlogiki.
Literatura
[1] N.Bourbaki–
Elementyhistoriimatematyki,
PWNWarszawa1980,
[2] A.P. Juszkiewicz –
Historia matematyki (od czasów najdawniejszych do początku czasów
nowożytnich)
,Tom1-3,PWNWarszawa1975,
[3] K.Kuratowski, A.Mostowski –
Teoria mnogości
, Monografie Matematyczne XXVII,War-
szawa1978,
[4] R.Murawski–
Filozofia matematyki –zarysdziejów
,WydawnictwoNaukowePWN1995
–4–
Ważneosobyidatywrozwojuteoriimnogości
•
Julius Wilhelm Richard DEDEKIND (
∗
1831 Braunschweig w Niemczech –
†
1916 Braun-
schweigwNiemczech)
,nowoczesnateorialiczbalgebraicznych,prakrojeDedekinda.
1889 Freiburg w Niemczech)
,
badałszeregiliczbowe,aprzytymwniósłwieledoteoriizbiorów.
•
Georg FerdynandLudwigCANTOR(
∗
1845 St Petersburgw Rosji –
†
1918 Halle w Niem-
czech)
,twórcateoriimnogości,którawpłynęłanarozwójcałejmatematyki,awszczególnoś-
ci na podstawy współczesnej analizy matematycznej, konstrukcja Cantora liczb rzeczy-
wistych.
•
MagnusG¨ostaMITTAG-LEFFLER(
∗
1846Sztokholm–
†
1927Sztokholm)
,twórcaskandy-
nawskiejszkołymatematycznej,przyczyniłsiędouporządkowaniateoriimnogości.
Paul David Gustav DU BOIS-REYMOND (
∗
1831 Berlin –
†
•
1953FreiburgwNiemczech)
,badał
podstawymatematyki, autor fundamentalnych praczteorii mnogości w szczególności ak-
sjomatykiteoriimnogości.
∗
1871Berlin–
†
•
1912 Paryż)
,zajmowałsięwieloma
dyscyplinami matematycznymi, a także fizyką i filozofią. Jego prace dotyczące podstaw
matematykistanowiłyistotnywkładwrozwójteoriimnogości.
∗
1854 Nancy we Francji –
†
•
1965 Jerozolima)
,wspólniez
FraenklemiCantoremwspółtworzyłwspółczesnąteorięmnogości.
∗
1891 Monachium –
†
•
Friedriech Ludwig Gottlob FREGE (
∗
1848 Wismar w Mecklenburgii-Schwerinie w Niem-
1925 Bad Kleinen w Niemczech)
, pierwsze ujęcie rachunku zdań jako sformali-
zowanejteoriiaksjomatycznej.
•
Giuseppe PEANO (
∗
1858 Cuneo na Sardynii –
†
1932 Turyn we Włoszech)
,atytmtyka
jako teoriaaksjomatyczna sformalizowana(
Arytmetyka Peano
).
czech –
†
•
1943GetyngawNiemczech)
,
jego badania nad podstawami geometrii (1898-1902) zapoczątkowały nowoczesną, aksjo-
matyczną budowęteorii matematycznych (23 problemyHilberta, teoriaspektralnaopera-
torówliniowych–podstawowyaparatmechanikikwantowej).
∗
1862KrólewiecwPrusachWschodnich–
†
•
1970Penrhyndendraeth
w Walii)
, w 1902 r analizując zaproponowany przez Fregego system logicznych podstaw
matematyki zauważył w nim sprzeczność polegającą na tzw. paradoksie klas (
antynomia
Russella
), w 1903 ogłosił
„Principles of Mathematics”
, w których starał się sprowadzić
teorię mnogości
, anawetcałąmatematykę dologiki, w1908 rstworzyłzasadytzw.
teorii
typówlogicznych
. Wlatach 1910-1913 B.A.W.RussellwrazzAlfredemNorthWhitehea-
dem(
∗
1872RavenscroftwWalii–
†
1847CambridgewMassachusettsUSA)
napisaliiopublikowali
„Principia Mathematica” (t. I–III)
,wktórejideąprzewodniąbyło
poszukiwanie podstaw matematyki w zasadach logicznych, rezultatem zaś przedstawienie
matematykiwpostacisystemusformalizowanegooraznadaniewspółczesnegokształtulog-
icematematycznej.
1861RamsgatehrabstwoKentwAnglii–
†
•
1957Waszyngton)
,matematyk,chemik,
fizyk,informatykwspółtwórcabroniatomowej. Jegobadaniazteoriimnogościprzyczyniły
∗
1903Budapeszt–
†
•
ErnstFriedrichFerdinandZERMELO(
Julius Henri POINCAR
´
E(
Adolf Abraham Halevi FRAENKEL (
DavidHILBERT(
BertrandArthurWilliamRUSSEL(
∗
John(Janos)vonNEUMANN(
–5–
siędowykorzystaniauzyskanychprzezniegowynikówwzastosowaniachpraktycznychoraz
douszlachetnieniawieluwyników.
•
1941 Paryż)
, twórca ogólnej teorii
miaryicałki. Wtrakciebadańnadtymiteoriamiuzyskałważnedlateoriimnogościwyniki.
∗
1875 Beavais we Francji –
†
•
1969 Warszawa)
, badał teorię liczb, topologię
i teorię mnogości. W 1912 roku napisał fundamentalną książkę dotyczącą tej ostatniej
dyscypliny,wktórejzamieściłrównieżwielewłasnychwyników.
∗
1882 Warszawa –
†
•
1978Princeton
wstanieNowyJorkwUSA)
,niepełnośćteoriiaksjomatycznychsformalizowanychzawiera-
jącycharytmetykę. Twierdzenieoniesprzecznościhipotezycontinuumzaksjomatykąteorii
mnogości.
∗
1906Br¨unnwAustrowęgrzechobecnieBrnowCzechach–
†
1980Warszawa)
,jedenztwórcówLwowskiej
SzkołyMatematycznej,badaczteoriimnogości,topologii,teoriigrafów,analizymatematy-
cznejipodstawmatematyki. Jegowynikibadańzpodstawmatematykiprzyczyniłysiędo
uporządkowaniatejdyscypliny(lematKuratowskiego-Zorna).
•
Stanisław Marcin ULAM (
∗
1909 Lwów –
†
1984 Santa Fe w USA)
,twórcametodyMonte
Carlo, wszechstronny matematyk o zdolnościach przenoszenia wyników matematycznych
do innych nauk. Jego prace z teorii procesów stochastycznych, równań różniczkowych
cząstkowych,analizyfunkcjonalnejorazichzastosowaniawfizyceprzyczyniłysiędobadań
problemówteoriimnogości. Niektórezjegowynikówpracpozostająutajnionepodziśdzień,
zewzględunaichwykorzystanieprzykonstrukcjibombyatomowejiwodorowej. Bezspornie
StanisławUlam jestuważany zatwórcę koncepcjibombywodorowej, byłontakże stałym
konsultantemwtrakciejejbudowy.
KazimierzKURATOWSKI(
∗
1896Warszawa–
†
•
1934 LongBranch,NewJersey)
,niezależność hipotezycontinuum
(1963),medalFieldsaw1966.
∗
Henri Leon LEBESGUE (
Wacław SIERPIŃSKI (
KurtGODEL(
•
PaulJosephCOHEN(
[ Pobierz całość w formacie PDF ]