temat18 RL zadania, Studia, MGR sem 1, Mechanika analityczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
18. Równania Lagrange’a
• francuski matematyk, mechanik i
astronom pochodzenia włoskiego
• współtwórca mechaniki analitycznej i
rachunku wariacyjnego
• rozległe badania w dziedzinie
mechaniki i jej wykorzystania do opisu
ruchu planet i Ksi
ħŇ
yca (
Traité de
mécanique analytique
–
Mechanika
analityczna
– 1788)
• oficer Legii Honorowej, senator
Joseph Louis de
Lagrange
(Giuseppe Lodovico Langrangia)
1736 – 1813
Równania Lagrange’a II rodzaju
d
Å
¶
T
Õ
−
¶
T
=
−
¶
V
+
Q
−
R
j
j
dt
¶
q
#
¶
q
¶
q
Æ
j
Ö
j
j
j
=
1
2
2
,
s
w potencjalnym polu sił
s
– liczba stopni swobody układu
q
– współrz
ħ
dna uogólniona
T
– energia kinetyczna układu
V
– energia potencjalna układu (gdy na układ działaj
Ģ
siły potencjalne)
Q
j
– zewn
ħ
trzna siła uogólniona odpowiadaj
Ģ
ca współrz
ħ
dnej uogólnionej
R
j
– uogólniona siła oporu (skierowana przeciwnie do
Q
j
)
praca przygotowana
n
sił czynnych
działaj
Ģ
cych na
nieswobodny układ
materialny
Ã
n
(
)
d
=
P
d
+
P
d
+
P
d
=
xi
xi
yi
yi
zi
zi
i
=
1
s
Ç
n
Å
Æ
¶
x
¶
y
¶
z
Õ
Ö
×
s
=
à Ã
È
É
P
i
+
P
i
+
P
i
Ø
Ù
d
q
=
Ã
Q
d
xi
yi
zi
j
j
j
¶
q
¶
q
¶
q
È
Ø
j
= =
1 1
i
j
j
j
=
1
Q
j
1
Ä
Ô
L
Ä
Ô
q
j
Zadanie 1/18
Jednorodny cienki pr
ħ
t o masie
m
i długo
Ļ
ci
l
zawieszono
przegubowo w polu sił ci
ħŇ
ko
Ļ
ci i podparto na niewa
Ň
kiej
spr
ħŇ
ynie o sztywno
Ļ
ci
c
. Przy pionowym ustawieniu pr
ħ
ta
spr
ħŇ
yna nie jest napi
ħ
ta. Wyznaczy
ę
okres drga
ı
układu po
nieznacznym wychyleniu pr
ħ
ta z poło
Ň
enia równowagi.
a)
b)
m
m
l
/2
l
c
l
c
Zadanie 2/18
Do niewa
Ň
kiego pr
ħ
ta podpartego na niewa
Ň
kiej spr
ħŇ
ynie o
sztywno
Ļ
ci
c
i umieszczonego w polu sił ci
ħŇ
ko
Ļ
ci przytwierdzono
jednorodn
Ģ
tarcz
ħ
o masie
m
i promieniu
r
. Przy pionowym
ustawieniu pr
ħ
ta spr
ħŇ
yna nie jest napi
ħ
ta. Wyznaczy
ę
okres drga
ı
układu po nieznacznym wychyleniu z poło
Ň
enia równowagi.
a)
b)
m
,
r
l
/2
l
/2
c
l
l
c
m
,
r
2
Zadanie 3/18
Do niewa
Ň
kiego pr
ħ
ta podpartego na niewa
Ň
kiej spr
ħŇ
ynie o
sztywno
Ļ
ci
c
i umieszczonego w polu sił ci
ħŇ
ko
Ļ
ci przytwierdzono
punkt materialny o masie
m
. Przy pionowym ustawieniu pr
ħ
ta
spr
ħŇ
yna nie jest napi
ħ
ta. Wyznaczy
ę
okres drga
ı
układu po
nieznacznym wychyleniu z poło
Ň
enia równowagi.
a)
b)
c
l
/3
2
l
/3
l
l
m
c
m
Zadanie 4/18
ĺ
rodek jednorodnego, chropowatego walca o masie
m
i
promieniu
r
poł
Ģ
czono z nieruchom
Ģ
podpor
Ģ
za pomoc
Ģ
niewa
Ň
kiej spr
ħŇ
yny o sztywno
Ļ
ci
c
i umieszczono w polu sił
ci
ħŇ
ko
Ļ
ci. Obliczy
ę
okres drga
ı
układu wokół poło
Ň
enia
równowagi.
a)
b)
m
,
r
c
c
m
,
r
a
3
Zadanie 5/18
Podwójne wahadło
fizyczne składa si
ħ
z
cienkich pr
ħ
tów o masach i
długo
Ļ
ciach:
m
1
,
l
1
i
m
2
,
l
2
.
Napisa
ę
ró
Ň
niczkowe
równania ruchu układu.
m
1
,l
1
m
2
,l
2
Zadanie 6/18
Przedstawione na rysunkach układy znajduj
Ģ
si
ħ
w polu sił
ci
ħŇ
ko
Ļ
ci. Napisa
ę
ró
Ň
niczkowe równania ruchu po wytr
Ģ
ceniu
układu z poło
Ň
enia równowagi.
a)
b)
M
,
R
jednorodny
chropowaty
walec
M
gładki
klocek
c
c
przegub
niewa
Ň
ka
spr
ħŇ
yna
jednorodny
cienki pr
ħ
t
m
,
l
m
,
l
4
Zadanie 7/18
Przedstawione na rysunkach układy znajduj
Ģ
si
ħ
w polu sił
ci
ħŇ
ko
Ļ
ci. Napisa
ę
ró
Ň
niczkowe równania ruchu po wytr
Ģ
ceniu
układu z poło
Ň
enia równowagi.
a)
b)
M
,
R
jednorodny
chropowaty
walec
M
gładki
klocek
c
c
przegub
niewa
Ň
ka
spr
ħŇ
yna
niewa
Ň
ki
pr
ħ
t
l
l
m
m
masa punktowa
masa punktowa
Zadanie 8/18
Gładki klocek o masie
M
zawieszono na niewa
Ň
kiej
spr
ħŇ
ynie o sztywno
Ļ
ci
c
.
Z klockiem poł
Ģ
czono
przegubowo cienki pr
ħ
t o
masie
m
i długo
Ļ
ci
l
.
Napisa
ę
ró
Ň
niczkowe
równania ruchu układu po
wytr
Ģ
ceniu go z poło
Ň
enia
równowagi.
c
M
m
,
l
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]