tensory, Studia, magnetyczny rezonans jądrowy
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TENSORY
PiotrSÃlanina
0
29maja2001
Definicja1
NiechVoznaczaprzestrze´nliniow
,
anadciaÃlem
K
.Tensorem
nazywamyprzeksztaÃlcenielinioweT
:
V
n
¡!
K
wzgl
,
edemka˙zdegozargu-
ment´owtzn.dladowolnegoi2f
1
;:::;ng
T
(
v
1
;:::;kv
i
+¯
v
i
;:::;v
n
)=
kT
(
v
1
;:::;v
i
;:::;v
n
)+
T
(
v
1
;:::;
¯
v
i
;:::;v
n
)
:
Zbi´ortensor´owoznaczamyprzezT
n
(
V
)
.
WÃlasno´s´c1
Zbi´orT
n
n-tensor´owtworzyprzestrze´nliniow
,
anad
K
.
Definicja2
NiechTjestn-tensorem.Je˙zelizachodzijedenznast
,
epuj
,
acych
(r´ownowa˙znych!)warunk´ow
T
(
:::;v;:::;v;:::
)=0
;T
(
::;v
i
;:::;v
j
;:::
)=
¡T
(
:::;v
j
;:::;v
i
;:::
)
;
toTjestnazywanyn-tensoremsko´sniesymetrycznym.Zbi´ortychtensor´ow
oznaczamyprzezT
sk
Definicja3
NiechTjestn-tensorem.Je˙zelidladowolnejpermutacji¾2
S
n
zachodzi
T
(
v
1
;v
2
;:::;v
n
)=
T
(
v
¾
(1)
;v
¾
(2)
;:::;v
¾
(
n
)
)
;
toTjestnazywanyn-tensoremsymetrycznym.Zbi´ortychtensor´owozna-
czamyprzezT
sym
Zadanie1
Sprawdzi´cczywVka˙zdyiloczynskalarnyjest2-tensorem,gdzie
Vtoprzestrze´nliniowanad
Q
,
R
,
C
(nad
C
niejest).
Zadanie2
Czyka˙zdy1-tensorjestt.symetrycznym,sko´sniesymetr.(tak).
Zadanie3
Sprawdzi´c,czyka˙zdy2-tensorjestop.liniowymV
2
wK(nie).
Zadanie4
Wykaza´c,˙zeiloczynmieszany
(
~v
1
;~v
2
;~v
3
)
,v
i
2
R
3
,jesttensorem
antysymetrycznym.
0
Zadaniacz
,
e´sciowonapodst.skryptu”AlgebraiGeometriaAnalitycznazzadaniami”,
E.PÃlonka,Gliwice1990
1
n
(
V
)
.
n
(
V
)
.
Zdefiniujmynast
,
epuj
,
acefunkcje
f
t
:
R
3
£
R
3
¡!
R
,
t2f
1
;
2
;:::;
8
g
:
f
1
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=
x
1
y
1
¡x
2
y
2
+3
x
3
y
3
f
2
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=2
x
1
y
2
+
x
2
y
3
¡
3
x
3
y
1
f
3
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=
x
3
y
2
f
4
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=3
x
1
y
2
¡
3
x
2
y
1
f
5
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=0
f
6
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+3
x
3
y
1
f
7
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=
x
1
+3
x
2
y
2
f
8
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=
ln
(2
x
2
y
3
)
f
9
((
x
1
;x
2
;x
3
)
;
(
y
1
;y
2
;y
3
))=
¡
2
x
1
y
2
+2
x
2
y
1
¡
2
x
2
y
3
+2
x
3
y
2
¡
2
x
3
y
1
+2
x
1
y
3
Zadanie5
Sprawdzi´c,kt´orezpowy˙zejzdefiniowanychfunkcjis
,
a2-tensorami,
kt´ores
,
atensoramisymetrycznymi,antysymetrycznymi(odp.tensoremnie
jestf
7
,t.symetrycznyms
,
af
1
,f
5
,f
6
,natomiastt.antysymetrycznyms
,
a
f
4
,f
5
orazf
9
).
Niech
f
t
:
R
2
£
R
2
£
R
2
¡!
R
,
t2f
10
;
11
;
12
g
b
,
ed
,
afunkcjamipostaci:
f
10
((
x
1
;x
2
)
;
(
y
1
;y
2
)
;
(
z
1
;z
2
))=2
x
1
y
1
z
2
f
11
((
x
1
;x
2
)
;
(
y
1
;y
2
)
;
(
z
1
;z
2
))=2
x
1
y
2
z
3
+2
x
2
y
3
z
1
+2
x
3
y
1
z
2
f
12
((
x
1
;x
2
)
;
(
y
1
;y
2
)
;
(
z
1
;z
2
))=2
x
1
y
1
+3
x
2
y
3
¡x
3
y
1
Zadanie6
Sprawdzi´c,kt´orezpowy˙zejzdefiniowanychfunkcjis
,
a3-tensorami,
kt´ores
,
atensoramisymetrycznymi,antysymetrycznymi.(odp.tensoremnie
jestf
12
,t.symetrycznymjestf
11
,natomiastniemat.antysymetrycznych).
Zadanie7
NiechTb
,
edzie2-tensoremwprzestrzeni
R
2
.Sprawdzi´c,˙ze
T
((3
;
3)
;
(3
;
3))=27
orazT
((
n;n
)
;
(
¡
3
;¡
3))=
¡
9
nje˙zeliwiadomo,˙ze
T
((1
;
1)
;
(1
;
1))=3
.
Zadanie8
NiechTb
,
edzie2-tensoremw
R
2
.NiechT
((1
;
0)
;
(2
;
2))=3
orazT
((0
;
1)
;
(3
;
3))=
¡
2
.Sprawdzi´c,˙zeT
((1
;
2)
;
(6
;
6))=
¡
1
.
Zadanie9
NiechTb
,
edzien-tensorem.Wykaza´c,˙zeT
+
zdefiniowanywzo-
rem
T
+
(
v
1
;:::;v
n
)=§
¾2S
n
T
(
v
¾
(1)
;:::;v
¾
(
n
)
)
jestn-tensoremsymetrycznym(abyzrozumie´ctozadanie,spr´obowa´cudo-
wodni´cnajpierwtotwierdzeniedlan=2albon=3.WtedybowiemT
+
(
v
1
;v
2
)=
T
(
v
1
;v
2
)+
T
(
v
2
;v
1
)
iT
+
(
v
1
;v
2
;v
3
)=
T
(
v
1
;v
2
;v
3
)+
T
(
v
2
;v
1
;v
3
)+
T
(
v
1
;v
3
;v
2
)+
T
(
v
3
;v
1
;v
2
)+
T
(
v
3
;v
2
;v
1
)+
T
(
v
2
;v
3
;v
1
)
popodstawieniuodpowiednichwarto´sci
n).
Zadanie10
Wykaza´c,˙zeje´slidimV>
0
todimT
n
(
V
)
>
0
dlan2
N
(rozwi
,
azanie:wystarczywska˙za´cnietrywialnytensor;niechdimV
=
d.
WtedyV
=(
x
1
;:::;x
d
)
,anietrywialnymtensoremmo˙zeby´cnp.
T
n
((
x
1
;:::;x
d
)
;
(
y
1
;:::;y
d
)
;:::;
(
v
1
;:::;v
d
))=
x
1
y
1
:::v
1
+
x
2
y
2
:::v
2
+
:::
+
x
d
y
d
:::v
d
:
Wartozauwa˙zy´c,˙zewskazanytensorjestsymetryczny).
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]