teoria mnogosci skrypt, matematyka- studia, logika
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Podstawymatematykidlainformatyków
Janusz J. Szuster
Wstępdoteoriimnogości
Literatura
[1] ZofiaAdamowicz,PawełZbierski,
Logikamatematyczna
,PWNW-wa1991,
[2] Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski,
Wykłady ze wstępu do matematyki – wprowadzenie
doteoriimnogości
,WydawnictwoNaukowePWNW-wa2005
[3] Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski,
Wstęp do matematyki – zbiór zadań
,Wydawnictwo
NaukowePWNW-wa2005
[4] Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski,
Teoria mnogości
, Monografie Matematyczne
t.XXVII,W-wa1978,
[5] IgorA.Ławrow,ŁarisaL.Maksimowa,
Zadaniazteoriimnogości,logikimatematyczneji
teoriialgorytmów
,PWNW-wa2004,
[6] JanuszOnyszkiewicz,WiktorMarek,
Elementylogikiiteoriimnogości
,PWNW-wa2004.
[7] HelenaRasiowa,
Wstępdomatematykiwspółczesnej
,PWNW-wa2003,
[8] JerzyTiuryn,
Wstępdoteoriimnogościilogiki
,Wrocław2000,
[9] AgnieszkaWojciechowska,
Elementylogikiiteoriimnogości
,PWNW-wa1979.
1. ZARYSHISTORIITEORIIMNOGOŚCI
2
1. Zarys historiiteoriimnogości
Ewolucjamyślimatematycznejprzebiegawsposóbnieprzerwanyodconajmniej5000lat.
Wiodłaonaod,jakbyśmytodziśpowiedzieli,aplikacjiarytmetycznychpoprzezrozwójgeome-
triiialgebryorazpróbyformalizacjiideimatematycznychzwykorzystaniemdorobkufilozofów
zwanegoodczasówArystotelesalogiką.Wrazzewzrostempoziomukomplikacjianalizowanych
obiektówmatematycypotrzebowalicoraztonowychnarzędzipozwalającychnajednoznaczny
opiszarównonowouzyskiwanych wynikówjakitych,którebyłyznanestosunkowodawno,ale
językichopisubyłmałoprezyzyjny.Takiepojęciajakzbiórizawieraniebyływprzeszłościro-
zumianeintuicyjnie,międzyinnymizuwaginageometryczneodniesienia,iniebudziłysporów
interpretacje tych pojęć. Kłopoty zaczęły się pojawiać w momencie, gdy obiektem rozważań
były pojęcie równoliczności zbiorów, czy też pojawienia się w kontekście zbioru pojęcia licz-
byczywielkości. Jednymztakichproblemówbyłproblemnieograniczonej„podzielności”czy
„rozciągliwości”badanyjużprzezpitagorejczyków.Tenproblemprowadziłczęstodokłopotów
naturyfilozoficznejidotykałonzarównoeleatówjakBolzanaiCantora.
Porazpierwszyzzagadniemrównolicznościlubbardziejprecyzyjnieuogólnionejrównolicz-
nościpojawiasięwpracachGalileusza,którywykazujewzajemniejednoznacznąodpowiedniość
międzyliczbaminaturalnymiiichdrugimipotęgami.
Dziś wydaje się co najmniej niezrozumiałe, jak przez całe wieki mogły być utrzymywane
i kultywowane poglądy matematyczne, o których dziś wiemy, że były nieprecyzyjne lub cał-
kowicie błędne. Wytłumaczenie tego zjawiska wydaje się jednak być dość nieskomplikowane.
Mianowicie, nie istnieło wewnętrzne zapotrzebowanie matematyki na precyzje w tym wzglę-
dzie.RozwójanalizymatematycznejjakidokonałsięwXIXwiekuzasprawąwieluówczesnych
matematykówwśródktórychnależywymienićCauchy’ego,Weierstrass’a,Bolzano,Riemanna,
Poincar´ego,Mittag-Leffera,Cantora,Dedekinda,BernsteinaiPeano.Talistaniejestoczywiście
kompletna,alewymienionenazwiskawskazująnarangędostrzeżonegoproblemu.
Bezwątpieniazaojcateoriimnogościwjejdzisiejszym rozumieniunależyuznaćmatema-
tyka niemieckego Georga Ferdynanda Ludwiga Cantora (1845-1918). Wychodząc od analizy
prac Riemanna doszedł problemów związanych z przeliczalnością oraz konstruowaniem liczb
rzeczywistych. W latach 1878-1884 Cantor ogłosił cykl sześciu rozpaw poświęconych proble-
momrównoliczności, teoriizbiorówcałkowicie uporządkowanych, własnościom topologicznym
R
n
,atakże problemom miary.Wprowadzenie w1882rokuprzez Cantorapojęciazbioru
dobrzeuporządkowanego dajepodstawę dobadanialiczb kardynalnych orazpozwalasformu-
łować„hipotezęcontinuum”.OpórmatematykówwobecwynikówCantorabyłdośćjednolityi
twardy.JedynieCarlWeierstrassbyłnastawionydojegowynikówżyczliwie.Opórtenpowodo-
wanybyłrewolucyjnymcharakteremtychwyników, burzyłyonebowiemponaddwutysięczną
tradycjęmatematyczną.PowynikachCantoraprzyszłakolejnauzupełniejącejerezultatyBern-
steinaiZermelo.PrawdziwymsojusznikiemCantorawpracachnadteoriąmnogościbyłJulius
Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916).Niektóre spośród wyników uzyskanych przez Canto-
rai jegokontunuatorów były odkryte przez Dedekinda jednak nie zostały one opublikowane.
Co więcej wiele wyników tego ostatniego pokazało jak w pełni należy stosować teorie aksjo-
matyczne. Mianowicie, Dedekind rozważając ogólne przypadki zbiorów, a nie tylko zbiorów
i
R
LITERATURA
3
całkowicie uporządkowanych, dochodzi do zbiorówkratowych igruntownie analizuje ich wła-
sności. Chociaż w odróżnieniu od wyników Cantora, rezultaty uzyskane przez Dedekinda nie
znalazłynatychmiastowegozastosowania,tookazałysięoneniezwykleważniejużwnieodległej
przyszłości.
WynikipracCantorapozwoliłynaformalizacjęmatematyki,ajednocześniedałypoczątek
upowszechnianiusięmetodaksjomatycznych.Jednakpozatymosiągnięciemdałyonepoczątek
kryzysowipodstawmatematyki.Pojawiłysięotoparadoksyteoriimnogości.Większośćznich
byłabliźniaczo podobna,podwzględem natury,dotych zjakimizetknięto sięwcześniej przy
odkryciugeometriinieeuklidesowych.Skonstatowaćtomożnasformułowaniemzaczerpniętymz
Elementówhistoriimatematyki
NicolasaBourbaki,że
próżnesąpróbyzbudowaniajakiejkolwiek
teoriimatematycznej zapomocąodwoływaniasię(jawnegolubnie)do„intuicji”
.Szłozatem
o to, by dla teorii mnogości stworzyć podstawę aksjomatyczną analogiczną do układu aksjo-
matówgeometriielementarnej,bezdociekaniaconazywamyzbiorem,wsensienaturyobiektu,
jak również nie jest definiowane przynależenie do zbioru, a jedynie wyraźnie formułowane są
warunkicharakteryzująceprzynależnośćdoustalonegozbioru.Pierwszym,któryzbudowałta-
kąaksjomatyzację byłZermeloistałosię tow1908roku.Próbatauzupełnionaprzez wynki
Skolema i Fraenkla pozwoliła na konstrukcję aksjomatyki teorii mnogości, jednak ceną jaką
należałozatozapłacić,byłakomiecznośćwprowadzeniatakżeregułlogiki.
Literatura
[1]N.Bourbaki–
Elementyhistoriimatematyki,
PWNWarszawa1980,
[2] A.P. Juszkiewicz –
Historia matematyki (od czasów najdawniejszych do początku czasów
nowożytnich)
,Tom1-3,PWNWarszawa1975,
[3] K.Kuratowski, A.Mostowski –
Teoria mnogości
,Monografie Matematyczne XXVII, War-
szawa1978,
[4] R.Murawski–
Filozofiamatematyki–zarysdziejów
,WydawnictwoNaukowePWN1995
LITERATURA
4
1.1. Ważneosoby idaty wrozwoju teorii mnogości
JuliusWilhelmRichardDEDEKIND(∗1831Braunschweig wNiemczech –†1916Braun-
schweigwNiemczech)
,nowoczesnateorialiczbalgebraicznych,prakrojeDedekinda.
PaulDavidGustavDUBOIS-REYMOND(
1889FreiburgwNiemczech)
,
badałszeregiliczbowe,aprzytymwniósłwieledoteoriizbiorów.
∗
1831Berlin–
†
GeorgFerdynandLudwigCANTOR(
1918HallewNiem-
czech)
,twórcateoriimnogości,którawpłynęłanarozwójcałejmatematyki,awszczególnoś-
cinapodstawywspółczesnejanalizymatematycznej,konstrukcjaCantoraliczbrzeczywi-
stych.
∗
1845StPetersburgwRosji–
†
MagnusG¨ostaMITTAG-LEFFLER(
1927Sztokholm)
,twórcaskan-
dynawskiejszkołymatematycznej,przyczyniłsiędouporządkowaniateoriimnogości.
∗
1846Sztokholm–
†
ErnstFriedrichFerdinandZERMELO(
1953FreiburgwNiemczech)
,badał
podstawy matematyki, autor fundamentalnych prac z teorii mnogości w szczególności
aksjomatykiteoriimnogości.
∗
1871Berlin–
†
JuliusHenriPOINCAR
´
E(∗1854NancyweFrancji–†1912Paryż)
,zajmowałsięwieloma
dyscyplinami matematycznymi, a także fizyką i filozofią. Jegoprace dotyczące podstaw
matematykistanowiłyistotnywkładwrozwójteoriimnogości.
AdolfAbrahamHaleviFRAENKEL(
1965Jerozolima)
,wspólniez
FraenklemiCantoremwspółtworzyłwspółczesnąteorięmnogości.
∗
1891Monachium–
†
FriedriechLudwigGottlobFREGE(
∗
1848WismarwMecklenburgii-SchweriniewNiem-
czech–
1925BadKleinenwNiemczech)
,pierwszeujęcierachunkuzdańjakosformalizo-
wanejteoriiaksjomatycznej.
†
GiuseppePEANO(
1932TurynweWłoszech)
,atytmetyka
jako teoriaaksjomatyczna sformalizowana(
Arytmetyka Peano
).
∗
1858CuneonaSardynii–
†
David HILBERT (
1943 Getynga w Niem-
czech)
,jegobadanianadpodstawamigeometrii(1898-1902)zapoczątkowałynowoczesną,
aksjomatyczną budowę teoriimatematycznych (23problemy Hilberta,teoriaspektralna
operatorówliniowych–podstawowyaparatmechanikikwantowej).
∗
1862 Królewiec w Prusach Wschodnich –
†
Bertrand Arthur William RUSSEL (∗1872 Ravenscroft w Walii – †1970 Penrhynden-
draeth w Walii)
, w 1902 r analizując zaproponowany przez Fregego system logicznych
podstaw matematyki zauważył w nim sprzeczność polegającą na tzw. paradoksie klas
(
antynomia Russella
),w1903ogłosił
„Principles of Mathematics”
,wktórych starałsię
sprowadzić
teorię mnogości
, a nawet całą matematykę do logiki, w 1908 r stworzył za-
sadytzw.
teoriitypówlogicznych
.Wlatach1910-1913B.A.W.RussellwrazzAlfredem
NorthWhiteheadem (
1847Cambridgew
MassachusettsUSA)napisaliiopublikowali
„PrincipiaMathematica”(t.I–III)
,wktórej
∗
1861Ramsgatehrabstwo Kent wAnglii–
†
LITERATURA
5
ideą przewodnią było poszukiwanie podstaw matematyki w zasadach logicznych, rezul-
tatemzaśprzedstawieniematematykiwpostacisystemusformalizowanegooraznadanie
współczesnegokształtulogicematematycznej.
John(Janos)vonNEUMANN(∗1903Budapeszt–†1957Waszyngton)
,matematyk,che-
mik,fizyk,informatykwspółtwórcabroniatomowej.Jegobadaniazteoriimnogościprzy-
czyniły się do wykorzystania uzyskanych przez niego wyników w zastosowaniach prak-
tycznychorazdouszlachetnieniawieluwyników.
HenriLeonLEBESGUE(
1941Paryż)
,twórcaogólnejteorii
miary i całki. W trakcie badań nad tymi teoriami uzyskał ważne dla teorii mnogości
wyniki.
∗
1875BeavaisweFrancji–
†
WacławSIERPIŃSKI(
1969Warszawa)
,badałteorięliczb,topologię
i teorię mnogości. W 1912 roku napisał fundamentalną książkę dotyczącą tej ostatniej
dyscypliny,wktórejzamieściłrównieżwielewłasnychwyników.
∗
1882Warszawa–
†
Kurt GODEL (
1978 Prin-
cetonwstanieNowyJorkwUSA)
,niepełnośćteoriiaksjomatycznychsformalizowanych
zawierającycharytmetykę.Twierdzenieoniesprzecznościhipotezycontinuumzaksjoma-
tykąteoriimnogości.
∗
1906Br¨unn w Austrowęgrzech obecnie Brno w Czechach –
†
KazimierzKURATOWSKI(
1980Warszawa)
,jedenztwórcówLwow-
skiejSzkołyMatematycznej,badaczteoriimnogości,topologii,teoriigrafów,analizymate-
matycznejipodstawmatematyki.Jegowynikibadańzpodstawmatematykiprzyczyniły
siędouporządkowaniatejdyscypliny(lematKuratowskiego-Zorna).
∗
1896Warszawa–
†
StanisławMarcinULAM(
1984SantaFewUSA)
,twórcametodyMonte
Carlo,wszechstronnymatematykozdolnościachprzenoszeniawynikówmatematycznych
do innych nauk. Jego prace z teorii procesów stochastycznych, równań różniczkowych
cząstkowych,analizyfunkcjonalnejorazichzastosowaniawfizyceprzyczyniłysiędoba-
dańproblemówteoriimnogości.Niektórezjegowynikówpracpozostająutajnionepodziś
dzień, ze względu na ich wykorzystanie przy konstrukcji bomby atomowej i wodorowej.
BezspornieStanisławUlamjestuważany zatwórcę koncepcjibombywodorowej,byłon
takżestałymkonsultantemwtrakciejejbudowy.
∗
1909Lwów–
†
PaulJosephCOHEN(
1934LongBranch,NewJersey)
,niezależnośćhipotezycontinuum
(1963),medalFieldsaw1966.
∗
[ Pobierz całość w formacie PDF ]