teoria z przykładami, Studia, Geodezja, zzz matematyka, II sem, geometria wektory
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1Geometriaanalityczna
1.1Wektorynapłaszczy¹nie
Wektortouporz¡dkowanaparapunktów,zktórychpierwszynazywasi¦pocz¡tkiem,a
drugiko«cemwektora.Je»eliwprowadzimyprostok¡tnyukładwspółrz¦dnych,tomo»na
okre±li¢współrz¦dnewektora
~a
jakomiaryrzutów
a
x
,
a
y
tegowektoranaosie
Ox
i
Oy
.
Oznaczamy
−!
AB
=
~a
=[
a
x
,a
y
].Je»eli
A
=(
x
1
,y
1
),
B
=(
x
2
,y
2
),to
a
x
=
x
2
−
x
1
,
a
y
=
y
2
−
y
1
.
Zauwa»my,»egdy
~
i
,
~
j
oznaczaj¡wektoryjednostkowenaosiach,to
~a
=
a
x
~
i
+
a
y
~
j.
Długo±¢wektorawynosi
|
~a
|
=
q
a
2
x
+
a
2
y
=
q
(
x
2
−
x
1
)
2
+(
y
2
−
y
1
)
2
.
Wektoryodługo±ci1nazywamywersorami.
Natomiastk¡temmi¦dzywektoramile»¡cyminapółprostych
l
1
i
l
2
nazywamytenz
dwóchk¡tówutworzonychprzeztepółproste,któregomiaraspełnianierówno±¢0
¬
'
¬
/
2.
Iloczynskalarnywektorów
~a
i
~
b
okre±lamyjako
~a
~
b
=
|
~a
||
~
b
|
cos
'.
Bezpo±rednioztejdefinicjimamy,»e
~
i
~
i
=
~
j
~
j
=1oraz
~
i
~
j
=0.St¡dotrzymujemy
~a
~
b
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
.
Zatem
|
~a
||
~
b
|
cos
'
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
,wi¦c
cos
'
=
|
a
x
b
x
+
a
y
b
y
|
|
~a
|·|
~
b
|
(warto±¢bezwzgl¦dnadlatego,»ebyk¡tspełniałwarunek0
¬
'
¬
/
2).
Przykład
Danes¡punkty
A
=(1
,
1),
B
=(3
,
3),
C
=(5
,
1).Obliczy¢współrz¦dne
wektorów
−!
AB
,
−−!
BC
,
−!
CA
,ichdługo±ci,ik¡tymi¦dzynimi.
1.2Wektorywprzestrzeni
Wszystkiepoj¦cianiewymagaj¡ceukładuwspółrz¦dnychdefiniujesi¦takjaknapłasz-
czy¹nie.
Niech
Oxyz
b¦dzieprostok¡tnymukłademwspółrz¦dnychwprzestrzeni,a
~
i
,
~
j
~
k
ozna-
czaj¡wektoryjednostkowenaosiach.Wektor
−!
AB
opocz¡tku
A
=(
x
1
,y
1
,z
1
)iko«cu
B
=(
x
2
,y
2
,z
2
),mawspółrz¦dne
a
x
=
x
2
−
x
1
,
a
y
=
y
2
−
y
1
,
a
z
=
z
2
−
z
1
.Piszemy:
−!
AB
=[
x
2
−
x
1
,y
2
−
y
1
,z
2
−
z
1
]
.
1
Długo±¢wektorawynosi
q
q
|
~a
|
=
a
2
x
+
a
2
y
+
a
2
z
=
(
x
2
−
x
1
)
2
+(
y
2
−
y
1
)
2
+(
z
2
−
z
1
)
2
.
Je»eliprzez
,
,
oznaczymyk¡ty,jakiewektor
~a
=[
a
x
,a
y
,a
z
]tworzyzosiamiukładu,
to
cos
=
a
x
|
~a
|
,
cos
=
a
y
|
~a
|
,
cos
=
a
z
|
~a
|
.
St¡d
cos
2
+cos
2
+cos
2
=1
.
Zatemwektor
~
l
=[cos
,
cos
,
cos
]jestwersorem.Ponadto
~a
=
|
~a
|·
~
l
.
Liczbycos
,cos
,cos
nazywamykosinusamikierunkowymiwektora
~a
.Kosinusykie-
runkowewektora
~a
s¡wi¦cwspółrz¦dnymiwersorazgodnierównoległegodowektora
~a
.
Przykłady
1.Wektoropocz¡tku
A
=(
−
4
,
2
,
3)madługo±¢14ikosinusykierunkowe
2
7
,
−
3
7
,
6
7
.Obliczy¢współrz¦dneko«cawektora
B
.
2.Obliczy¢współrz¦dnepunktu
M
wiedz¡c,»ejegopromie«wodz¡cymadługo±¢8i
tworzyzosi¡
Ox
k¡t
4
,azosi¡
Oy
k¡t
3
.
Iloczynskalarnywektorów
~a
i
~
b
wprzestrzeniokre±lamytakjaknapłaszczy¹nie,tj.
~a
~
b
=
|
~a
|·|
~
b
|
cos
'.
Poniewa»
~
i
~
i
=
~
j
~
j
=
~
k
·
~
k
=1oraz
~
i
~
j
=
~
i
~
k
=
~
j
~
k
=0,wi¦c
~a
~
b
=(
a
x
~
i
+
a
y
~
j
+
a
z
~
k
)
(
b
x
~
i
+
b
y
~
j
+
b
z
~
k
)=
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
.
Podobniejakdlawektorównapłaszczy¹nieotrzymujemywzórnak¡tmi¦dzywektorami:
cos
'
=
|
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
|
|
~a
|·|
~
b
|
.
(1)
Przykład
Znale¹¢k¡tywewn¦trznetrójk¡taowierzchołkach
A
=(2
,
−
1
,
3),
B
=
(1
,
1
,
1),
C
=(0
,
0
,
5).
1.3Iloczynwektorowy
Definicja1
Iloczynemwektorowymniezerowychwektorów~a,
~
btworz¡cychk¡t'nazy-
wamywektor~ctaki,»e
1.długo±¢
|
~c
|
=
|
~a
|·|
~
b
|
sin
';
2.~c
?
~ai~c
?
~
b;
3.zwrotwektora~cjesttaki,»ewektory~a,
~
b,~ctworz¡układzgodnieskr¦tnyzukładem
~
i,
~
j,
~
k.
Je»eli~a
=
~
0
lub
~
b
=
~
0
,toprzyjmujemy~c
=
~
0
.
Piszemy
~c
=
~a
×
~
b
.
Twierdzenie1
Iloczynwektorowymawłasno±ci:
2
1.
|
~a
×
~
b
|
jestpolemrównoległobokuwyznaczonegoprzezwektory~a,
~
b;
2.
~
b
×
~a
=
−
~a
×
~
b;
3.
~
i
×
~
i
=
~
j
×
~
j
=
~
k
×
~
k
=
~
0
,
~
i
×
~
j
=
~
k,
~
j
×
~
k
=
~
i,
~
k
×
~
i
=
~
j.
4.
(
m~a
)
×
~
b
=
m
(
~a
×
~
b
)=
~a
×
(
m
~
b
)
;
5.
(
~a
+
~
b
)
×
~c
=
~a
×
~c
+
~
b
×
~c.
Wyliczymywspółrz¦dnewektora
~a
×
~
b
.Niech
~a
=
a
x
~
i
+
a
y
~
j
+
a
z
~
k
,
~
b
=
b
x
~
i
+
b
y
~
j
+
b
z
~
k
.
Wtedy
~a
×
~
b
=(
a
x
~
i
+
a
y
~
j
+
a
z
~
k
)
×
(
b
x
~
i
+
b
y
~
j
+
b
z
~
k
)=
=
a
y
a
z
b
y
b
z
~
i
−
a
x
a
z
b
x
b
z
~
j
+
a
x
a
y
b
x
b
y
~
k
=
~
i
~
j
~
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
Przykłady
1.Znale¹¢wektorjednostkowyprostopadłydowektorów
~a
=[2
,
3
,
−
1],
~
b
=[1
,
2
,
−
3].
2.Obliczy¢poletrójk¡taowierzchołkach
A
=(1
,
−
2
,
8),
B
=(0
,
0
,
4),
C
=(6
,
2
,
0).
Nast¦pniewyz
n
aczy¢dłu
go±
¢wysoko±ci
h
B
zwierzchołka
B
.
p
21.)
1.4Iloczynmieszanywektorów
Definicja2
Iloczynemmieszanymtrzechwektorów~a,
~
b,~cnazywamyliczb¦
(
~a
~
b~c
)=(
~a
×
~
b
)
~c.
Zatem
(
~a
~
b~c
)=
c
x
a
y
a
z
b
y
b
z
−
c
y
a
x
a
z
b
x
b
z
+
c
z
a
x
a
y
b
x
b
y
=
=
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
.
Je»eliwektory
~a
,
~
b
,
~c
nies¡równoległedojednejpłaszczyzny,towyznaczaj¡równole-
gło±cianwprzestrzeni.Jegopodstawamapole
|
~a
×
~
b
|
,awysoko±¢
h
=
|
~c
|
cos
'
,gdzie
'
jestk¡temmi¦dzy
~c
i
~a
×
~
b
.Zatemobj¦to±¢wynosi:
V
=
|
~a
×
~
b
|·|
~c
|
cos
'
=(
~a
×
~
b
)
~c
=(
~a
~
b~c
)
.
ci±lej,poniewa»powy»szerozumowaniemilcz¡cozakłada,»ecos
'>
0,powinni±my
wzi¡¢warto±¢bezwzgl¦dn¡.
V
=
|
(
~a
~
b~c
)
|
.
3
(odp.:
P
=7
p
5,
h
B
=
2
3
Wektory
~a
,
~
b
,
~c
nierównoległedojednejpłaszczyznywyznaczaj¡tak»eczworo±cian.Jego
obj¦to±¢wynosi:
V
=
1
6
|
(
~a
~
b~c
)
|
.
Przykłady
1.Obliczy¢obj¦to±¢ipolepowierzchnicałkowitejrównoległo±cianuzbudo-
wanegonawektorach
~a
=[1
,
0
,
0],
~
b
=[1
,
1
,
2],
~c
=[2
,
1
,
0].
2.Danes¡trzywierzchołkiczworo±cianu
A
=(4
,
0
,
−
2),
B
=(6
,
−
2
,
2),
C
=(4
,
−
4
,
6).
Wyznaczy¢czwartywierzchołek
D
wiedz¡c,»e
D
le»ynaosi
Oy
aobj¦to±¢czworo±cianu
jestrówna40.
2Wzajemnepoło»eniewektorów
Wektory(niezerowe)
~a
i
~
b
s¡
ortogonalne
(prostopadłe),gdy
~a
~
b
=0.
Wektory
~a
i
~
b
s¡
kolinearne
(równoległe),gdy
~a
×
~
b
=0.Jesttorównowa»newarunkowi,
»eichwspółrz¦dnes¡proporcjonalne,tzn.
b
x
=
a
y
b
y
=
a
z
b
z
.
Jeszczeinaczej:istniejetakaliczba
t
6
=0,»e
~a
=
t
~
b
.
Trzywektoryniezerowe
~a
,
~
b
,
~c
s¡
komplanarne
(tzn.le»¡wjednejpłaszczy¹nie),gdy
iloczynmieszany(
~a
~
b~c
)=0.
3Płaszczyznawprzestrzeni
P
0
P
le»ywtejpłaszczy¹nie,awi¦cjest
prostopadłydowektora
~n
izwarunkuprostopadło±ciotrzymujemy
−−!
P
0
P
~n
=0
.
(2)
Poniewa»
−−!
P
0
P
=[
x
−
x
0
,y
−
y
0
,z
−
z
0
],topoobliczeniuiloczynuskalarnegomamy
równo±¢:
A
(
x
−
x
0
)+
B
(
y
−
y
0
)+
C
(
z
−
z
0
)=0
.
Wykonuj¡cmno»enieipodstawiaj¡c
−
Ax
0
−
By
0
−
Cz
0
=
D
otrzymujemyrównanie
Ax
+
By
+
Cz
+
D
=0
,
(3)
którenazywamy
równaniemogólnympłaszczyzny.
Warteodnotowanias¡niektóreszczególneprzypadkipoło»eniapłaszczyznywukładzie
współrz¦dnych.Je»elipłaszczyzna:
-przechodziprzezpocz¡tekukładu,to
D
=0;
-jestrównoległadoosi
Oz
,to
C
=0;
4
a
x
Poło»eniepłaszczyznyjestokre±lonejednoznacznie,gdyznanyjestjedenjejpunkt
P
0
=
(
x
0
,y
0
,z
0
)iwektor
~n
=[
A,B,C
]prostopadłydopłaszczyzny.Wtedy,je»eli
P
=(
x,y,z
)
jestdowolnympunktempłaszczyzny,towektor
−−!
-jestrównoległadoosi
Oy
,to
B
=0;
-jestrównoległadoosi
Ox
,to
A
=0;
-jestprostopadładoosi
Oz
,to
A
=
B
=0,i.t.d.
Je»elipłaszczyznanieprzechodziprzezpocz¡tekukładuwspółrz¦dnychaniniejest
równoległado»adnejosiukładu,tomo»najejrównaniezapisa¢
wpostaciodcinkowej
:
x
a
+
y
b
+
z
c
=1
.
(Abyzrównaniaogólnego(3)otrzyma¢odcinkowewystarczyprzenie±¢
D
napraw¡
stron¦ipodzieli¢równanieprzez
−
D
.)
Przykład.Napisa¢równania(ogólneiodcinkowe)płaszczyzn:
1.przechodz¡cejprzez
P
0
=(1
,
−
2
,
3)iprostopadłejdo
~n
=[2
,
3
,
−
2];
2.przechodz¡cejprzez
P
0
=(2
,
−
2
,
3)irównoległejdowektorów
~a
=[2
,
3
,
−
1]
,
~
b
=
[
−
3
,
2
,
0]
3.przechodz¡cejprzezpunkty
P
1
=(1
,
0
,
2)
,P
2
=(3
,
−
2
,
1)
,P
3
=(0
,
4
,
−
3).
4Prostawprzestrzeni
Poło»enieprostej
l
jestokre±lonejednoznacznie,gdyznanyjestjedenjejpunkt
P
0
=
(
x
0
,y
0
,z
0
)iwektor
~
k
=[
a,b,c
]równoległydoniej(wektor
~
k
nazywamy
wektoremkie-
runkowym
prostej
l
).
Je»eliteraz
P
=(
x,y,z
)jestdowolnympunktemprostej,towektor
−−!
P
0
P
=
t
~
k
dlapewnego
t
2
R
.
(4)
Podstawiaj¡c
−−!
P
0
P
=[
x
−
x
0
,y
−
y
0
,z
−
z
0
],
~
k
=[
a,b,c
]otrzymujemy
[
x
−
x
0
,y
−
y
0
,z
−
z
0
]=[
ta,tb,tc
]
Porównuj¡cwspółrz¦dneotrzymujemyrówno±cicharakteryzuj¡ceprost¡:
l
:
8
>
<
>
:
x
=
x
0
+
ta
y
=
y
0
+
tb
z
=
z
0
+
tc
gdzie
t
2
R
.
(5)
Równania(5)nazywamy
równaniamiparametrycznymiprostej.
Przykład
.Równaniaparametryczneprostej
l
przechodz¡cejprzezpunkt
P
0
=(2
,
−
3
,
5)
irównoległejdowektora
~
k
=[1
,
−
5
,
2]maj¡posta¢:
8
>
<
x
=2+
t
y
=
−
3
−
5
t
z
=5+2
t
l
:
gdzie
t
2
R
.
>
:
5
P
0
P
jestrównoległy
doprostej,awi¦cjestprostopadłydowektora
~
k
izwarunkurównoległo±ciwektorów
otrzymujemy
−−!
[ Pobierz całość w formacie PDF ]